Odpowiedź :
Odpowiedź:
zad 1
a)
f(x) = 2(x - 2)(x + 3)
Funkcja kwadratowa przedstawiona jest w postaci iloczynowej
f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)
x₁ = 2 , x₂ = - 3
x₀ - miejsca zerowe = { - 3 , 2 }
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej
f(x) = a(x - p)² + q
p = (x₁ + x₂)/2 = (2 - 3)/2 = - 1/2 = - 0,5
q = f(- 1/2) = 2(- 1/2 - 2)(- 1/2 + 3) = 2 * (- 2 1/2) * 2 1/2 = 2 * ( - 5/2) * 5/2 =
= - 50/4 = - 12 2/4 = - 12 1/2 = - 12,5
f(x) = 2(x + 0,5)² - 12,5
b)
f(x) = - x² + 3x + 4
a = - 1 , b = 3 , c = 4
Δ = b² - 4ac = 3² - 4 * (- 1) * 4 = 9 + 16 = 25
p = - b/2a = - 3/(- 2) = 3/2 = 1 1/2 = 1,5
q = - Δ/4a = - 25/(- 4) = - 25/4 = - 6 1/4 = - 6,25
f(x) = - (x - 1,5)² - 6,25
zad 2
f(x) = x² + 4x
a = 1 , b = 4 , c = 0
a > 0 , więc ramiona paraboli skierowane do góry , a funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku
p = - b/2a = - 4/2 = - 2
f(x) min = f(- 2) = (- 2)² + 4 * (- 2) = 4 - 8 = - 4
zad 3
x₁ = - 1 , x = 2
(x₁ + x₂)/2 = x
x₁ + x₂ = 2x
x₂ = 2x - x₁ = 2 * 2 - (- 1) = 4 + 1 = 5
zad 4
x₁ + x₂ = 16
x = (x₁ + x₂)/2 = 16/2 = 8
Odp: A
Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{\begin{array}{l|l}\multicolumn{2}{c}{\text{Zadanie 1}}\\a)&f(x)=2\left(x+\dfrac12\right)^2-12\dfrac12\\b)&f(x)=-\left(x-1\dfrac12\right)^2+6\dfrac12\\\multicolumn{2}{c}{\text{Zadanie 2}}\\\multicolumn{2}{l}{f_{min}=-4}\\\multicolumn{2}{c}{\text{Zadanie 3}}\\\multicolumn{2}{l}{x_2=5}\\\multicolumn{2}{c}{\text{Zadanie 4}}\\\multicolumn{2}{l}{x=8}\end{array}}[/tex]
Funkcja kwadratowa
Postać ogólna:
[tex]\huge\boxed{f(x)=ax^2+bx+c \: | \: a\neq 0}[/tex]
Postać iloczynowa:
[tex]\huge\boxed{f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\:|\: a\neq 0}[/tex]
gdzie x₁, x₂ to miejsca zerowe funkcji
Postać kanoniczna:
[tex]\huge\boxed{f(x)=a(x-p)^2+q\: | \: a\neq0}[/tex]
gdzie p, q to współrzędne wierzchołka paraboli
[tex]p=\dfrac{-b}{2a}, q=\dfrac{-\Delta}{4a}[/tex]
[tex]\huge\boxed{\begin{array}{l}x_1+x_2=-\dfrac{b}a\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}a\end{array}}[/tex]
Rozwiązanie:
Zadanie 1.
Aby przekształcić funkcję kwadratową z postaci ogólnej do kanonicznej, należy obliczyć jej wyróżnik (deltę), a następnie za jej pomocą wyznaczyć współrzędne wierzchołka i podstawić dane współczynniki do wzoru funkcji o postaci kanonicznej. Jedną z metod przekształcania wzoru funkcji w postaci iloczynowej do kanonicznej, jest sprowadzenie jej do postaci ogólnej i postąpienie jak powyżej. Jednak w tym przykładzie przedstawię alternatywną metodę.
Korzystając z wiedzy, że wierzchołek znajduje się dokładnie w połowie pomiędzy miejscami zerowymi, obliczamy współrzędną p wierzchołka obliczając średnią arytmetyczną tych miejsc zerowych. Następnie obliczamy współrzędną q poprzez obliczenie dla wartości jaką przyjmuje funkcja dla wcześniej wyznaczonej współrzędnej p.
a)
[tex]f(x)=2(x-2)(x+3)\\a=2, x_1=2, x_2=-3\\p=\dfrac{2+(-3)}2=\dfrac{-1}2=-\dfrac12\\q=f(p)=f\left(-\dfrac12\right)=2\left(-\dfrac12-2\right)\left(-\dfrac12+3\right)\\q=2\left(-\dfrac12-\dfrac42\right)\left(-\dfrac12+\dfrac62\right)\\q=2\!\!\!\!\diagup\cdot\left(-\dfrac5{2\!\!\!\!\diagup}\right)\cdot\dfrac52\\q=-5\cdot\dfrac52\\q=-\dfrac{25}2\\q=-12\dfrac12\\\\\boxed{f(x)=2\left(x+\dfrac12\right)^2-12\dfrac12}[/tex]
b)
[tex]f(x)=-x^2+3x+4\\a=-1, b=3, c=4\\\Delta=3^2-4\cdot(-1)\cdot 4\\\Delta=9+16=25\\p=\dfrac{-3}{2\cdot(-1)}=\dfrac{-3}{-2}=\dfrac32=1\dfrac12\\q=\dfrac{-25}{4\cdot (-1)}=\dfrac{-25}{-4}=\dfrac{25}4=6\dfrac12\\\\\boxed{f(x)=-\left(x-1\dfrac12\right)^2+6\dfrac12}[/tex]
Zadanie 2:
Jeżeli współczynnik a funkcji jest dodatni, ramiona paraboli są skierowane w górę, a współrzędna q wierzchołka jest jej wartością najmniejszą. Odwrotna sytuacja ma miejsce, kiedy współczynnik a funkcji jest ujemny. Wówczas ramiona paraboli są skierowane w dół, a współrzędna q wierzchołka jest największą wartością, jaką przyjmuje funkcja.
[tex]f(x)=x^2+4x\\a=1 - \text{ramiona skierowane w gore}\\b=4\\c=0\\\\\Delta=4^2-4\cdot 1\cdot 0=16-0=16\\q=\dfrac{-16}{4\cdot1}=-\dfrac{16}4=-4\\\boxed{f_{min}=-4}[/tex]
Zadanie 3:
Oś symetrii przechodzi dokładnie przez wierzchołek funkcji. Z poprzednich zadań wiemy, że współrzędną p (x) wierzchołka możemy obliczyć wyznaczając średnią arytmetyczną miejsc zerowych funkcji. Zastosujemy tę metodę w tym zadaniu:
[tex]x=p=2\\x_1=-1\\p=\dfrac{x_1+x_2}2\\2=\dfrac{-1+x_2}2 |\cdot 2\\4=-1+x_2 |+1\\\boxed{5=x_2}[/tex]
Zadanie 4:
Ponownie jak w poprzednim zadaniu, korzystamy z zależności między wierzchołkiem (lub osią symetrii) a miejscami zerowymi:
[tex]p=\dfrac{x_1+x_2}2\\x_1+x_2=16\\p=\dfrac{16}2=8\\\\\boxed{x=8}[/tex]
