Dany jest trójkąt prostokątny o kacie ostrym 60°. Oblicz stosunek promienia okręgów opisanego na tym trójkącie do promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

[tex]\large\text {$\bold x$}[/tex] - przeciwprostokątna (bok trójkąta równobocznego)
[tex]\large\text {$\bold {\frac12x}$}[/tex] - krótsza przyprostokątna (połowa boku trójkąta równobocznego)
[tex]\large\text {$\bold {\frac{x\sqrt3}2}$}[/tex] - dłuższa przyprostokątna (wysokość trójkąta równobocznego)

Zatem przyjmując, że:

a, b to przyprostokątne trójkąta
c to przeciwprostokątna
¹/₂x = a

Otrzymujemy boki tego trójkąta:

a - krótsza przyprostokątna

b = a√3 - dłuższa przyprostokątna

c = 2a - przeciwprostokątna

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym

ma długość równą połowie długości przeciwprostokątnej tego trójkąta:

[tex]\large\text {$\bold {R=\frac12c}$}[/tex]

Czyli: [tex]\large\text {$\bold {R=\frac12\cdot2a=a}$}[/tex]

Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny

wyraża się wzorem:

[tex]\large\text {$\bold {r=\frac{a+b-c}2}$}[/tex]

Czyli: [tex]\large\text {$\bold {r=\frac{a+a\sqrt3-2a}2=\frac{a\sqrt3-a}2=\frac{a(\sqrt3-1)}2}$}[/tex]

Zatem,

stosunek długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt to:

[tex]\bold {\dfrac Rr=\dfrac a{\frac{a(\sqrt3-1)}2}=a\cdot\dfrac2{a(\sqrt3-1)}=\dfrac2{\sqrt3-1}}[/tex]

Czyli, po usunięciu niewymierności z mianownika, otrzymujemy:

[tex]\bold {\dfrac Rr=\dfrac2{\sqrt3-1}\cdot\dfrac{\sqrt3+1}{\sqrt3+1}=\dfrac{2(\sqrt3+1)}{3-1}=\dfrac{2(\sqrt3+1)}2=}\ \large\boxed{\bold{\sqrt3+\big1}}[/tex]