[tex]\huge\begin{array}{ccc}P(A)=\frac{7}{15552}\end{array}[/tex]
Prawdopodobieństwo.
Prawdopodobieństwo klasyczne:
[tex]P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}[/tex]
[tex]A[/tex] - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu [tex]A[/tex]
[tex]\Omega[/tex] - zbiór wszystkich możliwych zdarzeń (przestrzeń probabilistyczna)
[tex]|A|,\ |\Omega|[/tex] - moc zbioru (liczba elementów zbioru)
Rozwiązanie:
[tex]\Omega=\{(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6):\ n,a_n\in\{1,2,3,4,5,6\}\}\\\\|\Omega|=6^6\\\\A=\{(a_1,a_2,...,a_6):\ n,a_n\in\{1,2,3,4,5,6\}\ \wedge\ a_1+a_2+...+a_6=8\}[/tex]
Znajdujemy wszystkie możliwe 'szóstki' liczb ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6}, które dają sumę równą 8:
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 3 = 8
1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 = 8
Innych możliwości nie ma.
Wypisujemy wszystkie możliwe układy:
[tex]A=\{(1, 1, 1, 1, 1, 3), (1,1,1,1,3,1),(1,1,1,3,1,1),(1,1,3,1,1,1),(1,3,1,1,1,1,),\\(3,1,1,1,1,1),(1,1,1,1,2,2),(1,1,1,2,1,2),(1,1,2,1,1,2),(1,2,1,1,1,2),\\(2,1,1,1,1,2),(1,1,1,2,2,1),(1,1,2,1,2,1),(1,2,1,1,2,1),(2,1,1,1,2,1),\\(1,1,2,2,1,1),(1,2,1,2,1,1),(2,1,1,2,1,1),(1,2,2,1,1,1),(2,1,2,1,1,1),\\(2,2,1,1,1,1)\}\\\\|A|=21[/tex]
Oczywiście ilość takich 'szóstek' mogliśmy obliczyć nie wypisując ich:
[tex]\dfrac{6!}{5!}+\dfrac{6!}{4!\cdot2!}=\dfrac{5!\!\!\!\!\!\diagup^1\cdot6}{5!\!\!\!\!\!\diagup_1}+\dfrac{4!\!\!\!\!\!\diagup^1\cdot5\cdot6\!\!\!\!\diagup^3}{4!\!\!\!\!\!\diagup_1\cdot1\cdot2\!\!\!\!\diagup_1}=6+15=21[/tex]
6! - tyle jest możliwości rozstawienia 6 liczb na 6 miejscach
5! - tyle jest możliwości rozstawienia 5 liczb na 5 miejscach
6!/5! - ponieważ jest 5 liczb 1.
4! - tyle jest możliwości rozstawienia 4 liczb na 4 miejscach
2! - tyle jest możliwości rozstawienia 2 liczb na 2 miejscach
6!/(4! · 2!) - ponieważ są cztery 1 i dwie 2.
Obliczamy prawdopodobieństwo:
[tex]P(A)=\dfrac{21}{6^6}=\dfrac{21\!\!\!\!\!\diagup^7}{6\!\!\!\!\diagup_2\cdot6^5}=\dfrac{7}{2\cdot7776}=\dfrac{7}{15552}[/tex]
