Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{P_c=108\pi [j^2], \: \: V=72\sqrt3\pi[j^3]}[/tex]
Stożek
Stożek jest bryłą powstałą przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych. Przyprostokątna, wokół wykonano obrót jest wysokością stożka, a druga przyprostokątna - promieniem podstawy. Przeciwprostokątna trójkąta staje się tworzącą stożka.
Podstawą stożka jest koło.
Wzory:
[tex]\boxed{\begin{array}{c|l}\text{Pole podstawy}&P_p=\pi r^2\\\text{Pole powierzchni bocznej}&P_b=\pi r l\\\text{Pole powierzchni calkowitej}&P_c=\pi r^2+\pi rl \to P_c=\pi r(r+l)\\\text{Objetosc}&V=\dfrac13P_p\cdot H \to V=\dfrac{\pi r^2H}3\end{array}}[/tex]
Przekrój osiowy stożka
Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt, którego podstawą jest średnica podstawy, a pozostałe dwa boki są tworzącymi stożka. Wysokość przekroju osiowego jest wysokością stożka.
Trójkąt równoboczny
Trójkąt równoboczny jest wielokątem mającym boki tej samej długości, a wszystkie jego kąty wewnętrzne są równe i mają miarę 60°
Wzory:
[tex]\boxed{\begin{array}{c|l}\multicolumn{2}{c}{\text{Bok: }a}\\\text{Wysokosc}&h=\dfrac{a\sqrt3}2\\\:&\:\\\text{Pole:}&P=\dfrac{a^2\sqrt3}4\end{array}}[/tex]
Rozwiazanie:
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym. Oznacza to, że bok tego trójkąta będzie zarówno średnicą podstawy jak i tworzącą stożka. Wysokość tego trójkąta jest też wysokością stożka.
[tex]h=6\sqrt3[/tex]
[tex]a=d=2r\\a=l[/tex]
W pierwszym kroku obliczamy długość boku trójkąta korzystając ze wzoru na wysokość.
[tex]\dfrac{a\sqrt3}2=6\sqrt3 |\cdot 2\\a\sqrt3=12\sqrt3 |:\sqrt3\\\underline{\underline{a=12, d=12, l=12}}[/tex]
[tex]2r = a\\2r = 12 |:2\\\underline{\underline{r=6}}[/tex]
[tex]P_p=\pi \cdot 6^2 \\\underline{\underline{P_p=36\pi [j^2]}}[/tex]
[tex]P_b=\pi \cdot 6 \cdot 12\\\underline{\underline{P_b=72\pi [j^2]}}[/tex]
[tex]P_c=36\pi [j^2]+72\pi [j^2]\\\boxed{P_c=108\pi [j^2]}[/tex]
[tex]V=\dfrac{36\pi [j^2]\cdot6\sqrt3}{3}\\V=12\pi [j^2]\cdot 6\sqrt3\\\boxed{V=72 \sqrt3 \pi[j^3]}[/tex]
