Nie, nie możesz skrócić tych trójek. Z działań na potęgach znamy następujący wzór:
[tex]\left(\dfrac{a}b\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m}[/tex]
Oznacza to, że zarówno licznik jak i mianownik musisz podnieść do potęgi trzeciej.
Jedynka podniesiona do dowolnej potęgi w rezultacie da nią samą, więc zajmujemy się mianownikiem.
Z racji, że w mianowniku już mamy wyrażenie z potęgą, to korzystamy ze wzoru
[tex](a^m)^n=a^{m\cdot n}[/tex]
Więc w mianowniku będzie pierwiastek z dwóch podniesiony do iloczynu wykładników tych potęg (3·3=9)
[tex]\left(\dfrac1{\sqrt2^3}\right)^3=\dfrac{1}{\sqrt2^9}[/tex]
Pierwiastek z 2 możemy przedstawić jako potęgę liczby 2 korzystając ze wzoru na potęgę o wykładniku ułamkowym:
[tex]a^{\frac1n}=\sqrt[n]a[/tex]
[tex]\left(\dfrac1{\sqrt2^3}\right)^3=\dfrac{1}{\sqrt2^9}=\dfrac1{(2^{\frac12})^9}=\dfrac{1}{2^{\frac92}}[/tex]
A następnie cały ułamek przekształcić do potęgi liczby 2 korzystając z poniższego wzoru:
[tex]a^{-n}=\dfrac1{a^n}[/tex]
[tex]\left(\dfrac1{\sqrt2^3}\right)^3=\dfrac{1}{\sqrt2^9}=\dfrac1{(2^{\frac12})^9}=\dfrac{1}{2^{\frac92}}=(2^{\frac92})^{-1}=2^{-\frac92}[/tex]
Wynik możemy zapisać też postaci liczby niewymiernej.
[tex]2^{-\frac92}=\dfrac{1}{\sqrt{2^9}}\cdot\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{\sqrt{2^{10}}}=\dfrac{\sqrt2}{\sqrt{(2^5)^2}}=\dfrac{\sqrt2}{2^5}=\dfrac{\sqrt2}{32}[/tex]
