Czworokąt wpisany w okrąg. Dowodzenie.
Czworokąt cykliczny to czworokąt wpisany w okrąg. Czyli jest to czworokąt, którego wszystkie wierzchołki leżą na okręgu.
Twierdzenia:
- Jeżeli czworokąt jest wpisany w okrąg, to suma miar przeciwległych kątów tego czworokąta wynosi 180°.
- Suma miar kątów wewnętrznych w każdym czworokącie wynosi 360°.
Kreślimy rysunek poglądowy i wprowadzamy oznaczenia (załącznik).
Do wykazania mamy, że:
∠1 + ∠14 + ∠6 + ∠9= 180° lub ∠2 + ∠5 + ∠10 + ∠13 = 180°
Jako, że czworokąty ABTS, BCUT, CDWU i DASW są wpisane w okręgi, to na podstawie twierdzenia otrzymujemy równości:
(*)
ABTS:
∠1 + ∠3 = 180°
∠2 + ∠4 = 180°
BCUT:
∠5 + ∠7 = 180°
∠6 + ∠8 = 180°
CDWU:
∠9 + ∠11 = 180°
∠10 + ∠12 = 180°
DASW:
∠13 + ∠15 = 180°
∠14 + ∠16 = 180°
Z (*) otrzymujemy (**):
∠1 + ∠3 = 180°
∠6 + ∠8 = 180°
dodajemy stronami:
∠1 + ∠3 + ∠6 + ∠8 = 360°
oraz
∠9 + ∠11 = 180°
∠14 + ∠16 = 180°
dodajemy stronami:
∠9 + ∠11 + ∠14 + ∠16 = 360°
Widzimy, że w każdym wierzchołku czworokąta ABCD wszystkie kąty dają
kąt pełny 360°. Stąd otrzymujemy (***):
α + ∠1 + ∠15 = 360°
β + ∠3 + ∠8 = 360°
γ + ∠7 + ∠12 = 360°
δ + ∠11 + ∠16 = 360°
Dodajmy równania stronami
α + ∠1 + ∠15 = 360° i γ + ∠7 + ∠12 = 360°
oraz
β + ∠3 + ∠8 = 360° i δ + ∠11 + ∠16 = 360°
otrzymując
α + ∠1 + ∠15 + γ + ∠7 + ∠12 = 720°
oraz
β + ∠3 + ∠8 + δ + ∠11 + ∠16 = 720°
Czworokąt ten jest również wpisany w okrąg. Czyli na podstawie twierdzenia otrzymujemy, że:
α + γ = 180°
β + δ = 180°
stąd otrzymujemy:
∠1 + ∠15 + ∠7 + ∠12 + 180° = 720°⇒ ∠1 + ∠15 + ∠7 + ∠12 = 540°
oraz
∠3 + ∠8 + ∠11 + ∠16 + 180° = 720°⇒ ∠3 + ∠8 + ∠11 + ∠16 = 540°
Przekształćmy drugie równanie:
∠3 + ∠8 + ∠11 + ∠16 = 540°
∠11 + ∠16 = 540° - ∠3 - ∠8
Podstawiamy do drugiego równania z (**):
∠9 + ∠11 + ∠14 + ∠16 = 360°
∠9 + ∠14 + 540° - ∠3 - ∠8 = 360°
Otrzymując dwa równania, które dodamy stronami:
∠1 + ∠3 + ∠6 + ∠8 = 360°
∠9 + ∠14 + 540° - ∠3 - ∠8 = 360°
∠1 + ∠3 + ∠9 + ∠14 + 540° = 360° |-540°
∠1 + ∠14 + ∠3 + ∠9 = 180° ■
