Rozwiązane

Dane są dwie proste k:y = (-4/3)x + 5, l:y = (4/3)x + 5. Napisz równanie prostej m przechodzącej przez punkt (0,-3), równoległej do prostej k. Oblicz pole figury ograniczonej prostymi l i m oraz osią y.



Odpowiedź :

123bodzio

Odpowiedź:

k: (- 4/3)x + 5  ; l: y = (4/3)x + 5  ; m: y = a₂x + b₂

Obliczamy prostą równoległą do prostej k i przechodzącą przez punkt

( 0 , - 3)

k: y = (- 4/3)x + 5

a₁ - współczynnik kierunkowy prostej = - 4/3

b₁ - wyraz wolny = 5

Warunkiem równoległości prostych jest a₁ = a₂

m:  y = a₂x + b₂ = (- 4/3)x + b₂ ; współrzędne punktu = ( 0 , - 3 )

- 3 = - 4/3 * 0 + b₂ = 0 + b₂ = b₂

b₂ = - 3

m: y = (- 4/3)x - 3

Obliczamy punkt przecięcia prostych l i m ; jest to wierzchołek trójkąta powstałego w układzie współrzędnych

l: y = (4/3)x + 5  , m: y = (- 4/3)x - 3

(4/3)x + 5 = (- 4/3)x - 3 | * 3

4x + 15 = - 4x - 9

4x + 4x = - 9 - 15

8x = - 24

x = - 24/8 = - 3

y = (4/3)x + 5 = 4/3 * (- 3) + 5 = - 4 + 5 = 1

Obliczamy punkt przecięcia osi OY przez prostą l

l: y = (4/3)x + 5

a - współczynnik kierunkowy = 4/3

b - wyraz wolny = 5

y₀ - punkt przecięcia prostej z osia OY = b = 5

Obliczamy punkt przecięcia osi OY przez prostą m

m: y = (- 4/3)x - 3

a = - 4/3

b = - 3

y₀ = b = - 3

Obliczamy długość podstawy trójkąta

I- 3I + 5 = 3 + 5 = 8

h - wysokość trójkąta = I- 3I = 3

P - pole trójkąta = 1/2 * 8 * 3 = 4 * 3 = 12 [j²]

Wykres w załączniku

Catta1eya

Odpowiedź:

[tex]\huge\boxed{\begin{array}{l|l}m: y=-\dfrac43x-3&P_{\triangle}=12[j^2]\end{array}}[/tex]

Proste równoległe

Dwie proste dane w postaci kierunkowej są równoległe wtedy, kiedy ich współczynniki kierunkowe są równe.

[tex]\huge\boxed{a_1=a_2}[/tex]

Prosta przechodząca przez punkt

Prosta y=ax+b przechodzi przez punkt P=(x₀, y₀) wtedy, kiedy zachodzi równość:

[tex]\huge\boxed{y_0=ax_0+b}[/tex]

Rozwiązanie:

Dane są proste i punkt:

[tex]\begin{array}{lll}k: y=-\dfrac43x+5&l: y=\dfrac43x+5&P=(0, -3)\end{array}[/tex]

a)

Aby wyznaczyć równanie prostej m, równoległej do prostej k i przechodzącej przez punkt P o danych współrzędnych, należy:

  1. Odczytać współczynnik kierunkowy prostej k, który będzie również współczynnikiem kierunkowym prostej m.
    [tex]a_k=-\dfrac43\\\\a_m=a_k\\\\a_m=-\dfrac43[/tex]
  2. Podstawić współczynnik kierunkowy pod wzór kierunkowy prostej:
    [tex]m: y=-\dfrac43x+b[/tex]
  3. Podstawić współrzędne punktu P do powyższego wzoru i wyznaczyć wyraz wolny:
    [tex]-3=-\dfrac43\cdot 0+b\\\\-3=b[/tex]
  4. Podstawić wyraz wolny do wzoru wyznaczonego w kroku drugim:
    [tex]\boxed{m: y=-\dfrac43x-3}[/tex]

b)

Figura ograniczona prostymi l i m oraz osią OY układu współrzędnych jest trójkąt.

  1. Wyznaczamy miejsce przecięcia się prostych l i m:
    [tex]\underline{+\left\{\begin{array}{l}y=\dfrac43x+5\\y=-\dfrac43x-3\end{array}\right\:}\\2y=5-3\\2y=2 |:2\\y=1\\\\\dfrac43x+5=1 |-5\\\\\dfrac43x=-4 \left|\cdot\dfrac34\right\:\\x=-3\\\\A=(-3; 1)[/tex]
  2. Wyznaczamy miejsce przecięcia prostych l i m z osią OY układu współrzędnych.
    [tex]\begin{array}{l|l}l: y=\dfrac43x+5&m: y=-\dfrac43x-3\\y=\dfrac43\cdot 0+5&y=-\dfrac43\cdot 0-3\\y=5&y=-3\\B=(0, 5)&C=(0, -3)\end{array}[/tex]
  3. Wyznaczamy długość odcinka i końcach w punktach B i C:
    [tex]|BC|=\sqrt{(-3-5)^2}=\sqrt{(-8)^2}=\sqrt{64}=8[/tex]
  4. Odcinek |BC| jest naszą podstawą, a odległość od punktu A do osi OY jest wysokością trójkąta.
    [tex]a=|BC|=8\\h=|-3|=3[/tex]
  5. Obliczamy pole tego trójkąta:
    [tex]P_{\triangle}=\dfrac{8\cdot 3}2=4\cdot3\\\\\boxed{P_{\triangle}=12[j^2]}[/tex]

Rysunek w załączniku.

Zobacz obrazek Catta1eya

Inne Pytanie