Rozwiązane

Zbadaj dla jakich wartości parametru a układ równań jest oznaczony, dla jakich nieoznaczony a dla jakich sprzeczny
x+a^2y+z=-a
x+y-az=a^2
y+z=1



Odpowiedź :

x+a^2y+z=-a
x+y-az=a^2
y+z=1

z=1-y

x+a^2y+1-y=-a
x+y-a+ay=a^2

x+y(a^2-1)=-a-1
x+y(a+1=a^2+a

Wyliczamy wyznaczniki

Na wszelki wypadek: do wyznaczników spisuje się wszystko co stoi przy x, y i wyrazy wolne. Do głównego bierzemy to co przy x i przy y i mnożymy na ukos: górny lewy róg razy prawy dolny i na odwrót, po czym od tego co zaczynało się w lewym górnym odejmujemy to co zaczynało się w lewym dolnym. Do wyznacznika x zamiast wyrazów które stały przy x używamy wyrazów wolnych, a do wyznacznika y nie używamy wyrazów, które stały przy y.
|1 a^2-1 |
W=| | = a+1-(a^2-1)=a+1-(a+1)(a-1)=(a+1)(1-a+1)=(a+1)(2-a)
|1 a+1 |

| -a-1 a^2-1 |
Wx= | | = (-a-1)(a+1) - (a^2-1)(a^2+a)=-(a+1)^2-(a-1)(a+1)*a(a+1)=
|a^2+a a+1 |
=(a+1)^2-a(a+1)^2(a-1)=(a+1)^2(-a^2+a-1)

| 1 -a-1 |
Wy=| | = a^2+a -(-a-1)= a^2+a +a+1=a^2+2a+1=(a+1)^2
| 1 a^2+a |

1. Ma dokładnie 1 rozwiazanie:
W≠0
(a+1)(2-a)≠0
a+1≠0 ∧ 2-a≠0
a≠-1 ∧ a≠2
a∈R-{-1,2}

I wtedy to rozwiązanie to:
x=Wx/W=(a+1)^2(-a^2+a-1)/(a+1)(2-a)=(a+1)(-a^2+a-1)/(2-a)
y=Wy/W=(a+1)^2/(a+1)(2-a)=(a+1)/(2-a)
z=1-(a+1)/(2-a)

2. Jest nieoznaczony gdy W=Wx=Wy=0
W=0
(a+1)(2-a)=0
a=-1 ∨ a=2

Wx=0
(a+1)^2(-a^2+a-1)=0
(a+1)^2=0 ∨ (-a^2+a-1)=0
a+1=0
a=-1
W tym drugim równaniu wychodzi ujemna delta, czyli z drugiego wychodzi zbiór pusty.

Wy=0
(a+1)^2=0
a+1=0
a=-1

Zestawiamy wszystko:
(a=-1∨a=2)∧a=-1∧a=-1
Czyli
a=-1

3. Jest sprzeczny, gdy W=0 i Wx≠0 lub Wy≠0
W=0→a=2∨a=-1
Wx≠0 → a≠-1
Wy≠0→ a≠-1
Zestawiając:
a=2
(wyniki do ostatniego są na podstawie poprzednich pdpkt)

Inne Pytanie