Trojkat rownoboczny ABC ma bok dlugosci 10cm. Na jego bokach obrano punkty M,N,P tak, ze |AM|=|BN|=|CP|. Jak nalezy wybrac punkty M,N i P aby pole trojkata MNP bylo najmniejsze?
Ozn. AM=BN=CP=x
BM=NC=PA=10-x
Kąt między bokami x i 10-x ma 60
czyli trójkąty AMP, MNB, PCN są przystające. Ich trzeci bok Mn, Np PM musi być taki sam, więc trójkąt MNO jest równoboczny
ΔAMP
z tw. cosinusów : PM²=x²+ ( 10 - x )² - x(10-x)cos 60
PM²=x²+100-20x+x²-½(10x-x²)
PM²=2x²+100-20x-5x+½x²
PM²=2½x²-25x+100
P ΔPMN = PM²√3/4
P ΔPMN = (2½x²-25x+100)√3/4
P(x)=5√3/8 x²-25√3/4 x+ 25√3 x∈(0,10)
funkcja pola
ma ekstramum (minimum, bo a=5√3/8>0)
p=-b/2a
p=-(-25√3/4)/2×5√3/8
p=25√3/4 × 8/ 10√3 skracasz przez √3 potem przez 5 potem 4 i przez 2
p=5 - moje x wierzchołkowe, czyli nasze szukane x, czyli punkt P powinien być w połowie boku AB, podobnie N i P
