Odpowiedź :
Wyznacz wszystkie wartości parametru m,dla których równanie log2x+log2(x-m)=log2(3x-4) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste.
Dwójka po log to podstawa tych logarytmów.W odpowiedzi powinno wyjść m∈(1,4/3)
log2x+log2(x-m)=log2(3x-4) zał:x>0, x>m, x>4/3 → x>m i x>4/3 , m <4,3
x×(x-m)=(3x-4)
x²-mx-3x+4=0
x²+(-m-3)x+4=0
warunki:Δ>0
Δ=(-m-3)²-16
(-m-3)²-16>0
-m-3-4=0 lub -m-3+4=0
m=-7 lub m=1 ramiona w góre i wartoęci dodatnich szukamy na wykresie
m∈(-∞,-7) u(1,∞) uwZględniając dziedzine mamy m∈(1,4/3)
Dwójka po log to podstawa tych logarytmów.W odpowiedzi powinno wyjść m∈(1,4/3)
log2x+log2(x-m)=log2(3x-4) zał:x>0, x>m, x>4/3 → x>m i x>4/3 , m <4,3
x×(x-m)=(3x-4)
x²-mx-3x+4=0
x²+(-m-3)x+4=0
warunki:Δ>0
Δ=(-m-3)²-16
(-m-3)²-16>0
-m-3-4=0 lub -m-3+4=0
m=-7 lub m=1 ramiona w góre i wartoęci dodatnich szukamy na wykresie
m∈(-∞,-7) u(1,∞) uwZględniając dziedzine mamy m∈(1,4/3)
log₂x + log₂(x-m) = log₂(3x-4)
Dziedzina:
x > 0
x-m > 0 => x > m
3x-4>0 => x>4/3
Czyli:
x>4/3
x>m = > m<4/3
log₂(x-m) = log₂(3x-4) - log₂x
log₂(x-m) = log₂[(3x-4)/x]
Ponieważ f. log. jest funkcją różnowartościową:
x-m = (3x-4)/x /*x
(x-m)x = 3x - 4
x²-mx-3x+4=0
x²-(m+3)x+4=0
2 różne pierwiastki rzeczywiste: delta > 0
delta = b² - 4ac = (m+3)² - 16
(m+3)² - 16 > 0
(m+3)² > 16 /pierwiastkujemy
|m+3| > 4
m + 3 > 4 lub m + 3 < -4
m > 1 lub m < -7
Czyli:
m∈(-∞; -7)v(1; 4/3)
Dziedzina mi jakoś nie odrzuca przedziału (-∞; -7), nie wiem, może ze zmęczenia jakiś oczywisty błąd robię.
Dziedzina:
x > 0
x-m > 0 => x > m
3x-4>0 => x>4/3
Czyli:
x>4/3
x>m = > m<4/3
log₂(x-m) = log₂(3x-4) - log₂x
log₂(x-m) = log₂[(3x-4)/x]
Ponieważ f. log. jest funkcją różnowartościową:
x-m = (3x-4)/x /*x
(x-m)x = 3x - 4
x²-mx-3x+4=0
x²-(m+3)x+4=0
2 różne pierwiastki rzeczywiste: delta > 0
delta = b² - 4ac = (m+3)² - 16
(m+3)² - 16 > 0
(m+3)² > 16 /pierwiastkujemy
|m+3| > 4
m + 3 > 4 lub m + 3 < -4
m > 1 lub m < -7
Czyli:
m∈(-∞; -7)v(1; 4/3)
Dziedzina mi jakoś nie odrzuca przedziału (-∞; -7), nie wiem, może ze zmęczenia jakiś oczywisty błąd robię.
log2x+log2(x-m)=log2(3x-4)
DZ:
x>0
x>m
x>4/3 ==> x>m
x>4/3
m<4,3
x•(x-m)=(3x-4)
x²-mx-3x+4=0
x²+(-m-3)x+4=0
Δ>0, bo nalezy do R(zbioru)
Δ=(-m-3)²-16
(-m-3)²-16>0
-m-3-4=0 v -m-3+4=0
m=-7 v m=1
m∈(-∞,-7) u(1,∞) z dz jest m∈(1,4/3)
