Rozwiązane

Oblicz długość boku sześciokąta foremnego, w którym:
a) dłuższa przekątna ma długość 10cm
b) krótsza przekątna ma długość 3cm
c) różnica długości dłuższej przekątnej i krótszej przekątnej wynosi 1cm.



Odpowiedź :

Sześciokąt foremny to sześciokąt, którego wszystkie kąty w środku są sobie równe, tak samo jak jego boki o długości "a".
Jego powierzchnia składa się z 6 równobocznych trójkątów, również o boku "a".
Z tego można łatwo zaobserwować, że dłuższa przekątna ma długość 2a.
Krótsza przekątna ma długość a√3, co można udowodnić tw. cosinusów.
x² = a² + a² - 2aa cosα, gdzie α to 2× kąt wewnętrzny trójkąta równobocznego (60°)
Z tego wychodzi, że
x² = 2a² - 2a²cos120° = 2a²[1-(-½)]
x² = 3a²
x = a√3
To tak dla ciekawości, bo chyba w szkole nie wymagają wyznaczania tego.
A więc po tej teorii czas na rozwiązanie zadania:
a) dłuższa przekątna ma długość 10cm
2a = 10cm
a = 5cm
b) krótsza przekątna ma długość 3cm
a√3 = 3cm
a = 3cm/√3 = 3√3cm/3 = √3 cm
c) różnica długości dłuższej przekątnej i krótszej przekątnej wynosi 1cm.
2a - a√3 = 1
a(2-√3) = 1
a = 1/(2-√3) = (2+√3)/[(2-√3)(2+√3)] = (2+√3)/1
a = 2+√3cm

Jak coś niejasno wytłumaczyłem, to mogę spróbować przedstawić to inaczej przez pw

Dawid1987Gumis

szkoła średnia

Dział Wielokąty foremne

Przypomnijmy, że figurę nazywamy foremną, gdy ma wszystkie boki równej długości oraz wszystkie kąty wewnętrzne równej miary.

Przypomnijmy również, że w sześciokącie foremnym o boku długości [tex]a[/tex] krótsza przekątna ma długość [tex]a\sqrt{3},[/tex] zaś dłuższa przekątna ma długość [tex]2a.[/tex]

Zgodnie z powyższym:

[tex]a)\\2a=10\vline :2\\\boxed{a=5cm}\\\\b)\\a\sqrt{3}=3 \vline : \sqrt{3}\\a=\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\dfrac{3}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{3}\\\boxed{a=\sqrt{3}cm}\\\\c)\\2a-a\sqrt{3}=1\\a \cdot (2-\sqrt{3})=1 \vline :(2-\sqrt{3})\\a=\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2-\sqrt{3}} \cdot \dfrac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{4-3}\\\boxed{a=2+\sqrt{3}cm}[/tex]