Odpowiedź :
Będę używał oznaczeń międzynarodowych, bo innych nie ma tutaj do wyboru. ∀ to kwantyfikator "dla każdego...", a ∃ to "istnieje taki, że"
∀(n∈N) nie oznacza żadnego mnożenia jak coś - oznacza "dla każdego n należącego do liczb naturalnych, n∈N zapisuje się pod kwantyfikatorem.
1)
Założenie: ∀(n∈N) 8| (n+2)⁴ - n⁴
[dla każdego n należącego do N, 8 jest podzielnikiem (n+2)⁴ - n⁴]
Z tego wynika, że:
∀(n∈N)∃(w∈C) (n+2)⁴ - n⁴ = 8w
[dla każdego n należącego do N, istnieje takie "w" należące do liczb całkowitych, że (n+2)⁴ - n⁴ = 8w]
Dowód:
[(n+2)²]² - n⁴ = (n²+4n+4)² - n⁴ = (n²+4n+4)(n²+4n+4) - n⁴ = n⁴ + 4n³ + 4n² + 4n³ + 16n² + 16n + 4n² + 16n + 16 - n⁴ = 16n³ + 24n² + 32n + 16 = 8(2n³ + 3n² + 4n + 2) = 8w
c.n.u. [co należało udowodnić]
2)
Założenie: ∀(c∈C) 8| (2c+1)² - (2(c+1)+1)²
[dla każdego c należącego do C, 8 jest podzielnikiem (2c+1)² - (2(c+1)+1)²]
Z tego wynika, że:
∀(c∈C)∃(w∈C) (2c+1)² - (2(c+1)+1)² = 8w
[dla każdego c należącego do C, istnieje takie "w" należące do liczb całkowitych, że (2c+1)² - (2(c+1)+1)² = 8w]
Dowód:
(2c+1)² - (2(c+1)+1)² = (2c+1)² - (2c+3)² = 4c² + 4c + 1 - (4c² + 12c + 9) = 4c² + 4c + 1 - 4c² - 12c - 9 = - 8c - 8 = 8(-c - 1) = 8w
c.n.u.
∀(n∈N) nie oznacza żadnego mnożenia jak coś - oznacza "dla każdego n należącego do liczb naturalnych, n∈N zapisuje się pod kwantyfikatorem.
1)
Założenie: ∀(n∈N) 8| (n+2)⁴ - n⁴
[dla każdego n należącego do N, 8 jest podzielnikiem (n+2)⁴ - n⁴]
Z tego wynika, że:
∀(n∈N)∃(w∈C) (n+2)⁴ - n⁴ = 8w
[dla każdego n należącego do N, istnieje takie "w" należące do liczb całkowitych, że (n+2)⁴ - n⁴ = 8w]
Dowód:
[(n+2)²]² - n⁴ = (n²+4n+4)² - n⁴ = (n²+4n+4)(n²+4n+4) - n⁴ = n⁴ + 4n³ + 4n² + 4n³ + 16n² + 16n + 4n² + 16n + 16 - n⁴ = 16n³ + 24n² + 32n + 16 = 8(2n³ + 3n² + 4n + 2) = 8w
c.n.u. [co należało udowodnić]
2)
Założenie: ∀(c∈C) 8| (2c+1)² - (2(c+1)+1)²
[dla każdego c należącego do C, 8 jest podzielnikiem (2c+1)² - (2(c+1)+1)²]
Z tego wynika, że:
∀(c∈C)∃(w∈C) (2c+1)² - (2(c+1)+1)² = 8w
[dla każdego c należącego do C, istnieje takie "w" należące do liczb całkowitych, że (2c+1)² - (2(c+1)+1)² = 8w]
Dowód:
(2c+1)² - (2(c+1)+1)² = (2c+1)² - (2c+3)² = 4c² + 4c + 1 - (4c² + 12c + 9) = 4c² + 4c + 1 - 4c² - 12c - 9 = - 8c - 8 = 8(-c - 1) = 8w
c.n.u.
