Odpowiedź :
Dziedziną D funkcji f jest zbiór liczb trzycyfrowych niepodzielnych przez 10. Funkcja f każdej liczbie n należącej do D przyporządkowuje liczbe trzycyfrową, która powstaje przez zapisanie cyfr liczby n w odwrotnej kolejności.
a- ile liczb należy do zbioru D?
wszystkich liczb trzycyfrowych jest 999-99=900, ale odrzucamy podzielne przez 10 ( 9*10=90), więc zostaje 810 liczb
b- oblicz ile jest takich liczb n należących do D, że f /n/ = n
są to liczby palindromowe, czyli te które można czytac od końca tak jak od początku, więc postaci aba
dla każdej cyfry 10 możliwości , więc 9*10=90 liczb
c- uzasadnij, że dla każdego n należącego do D liczba f /n/ - n jest podzielna przez 99.
F(100a+10b+c)=100c+10b+a-100a-10b-c=99c-99a=99(c-a) czyli dzieli sie przez 99
a- ile liczb należy do zbioru D?
wszystkich liczb trzycyfrowych jest 999-99=900, ale odrzucamy podzielne przez 10 ( 9*10=90), więc zostaje 810 liczb
b- oblicz ile jest takich liczb n należących do D, że f /n/ = n
są to liczby palindromowe, czyli te które można czytac od końca tak jak od początku, więc postaci aba
dla każdej cyfry 10 możliwości , więc 9*10=90 liczb
c- uzasadnij, że dla każdego n należącego do D liczba f /n/ - n jest podzielna przez 99.
F(100a+10b+c)=100c+10b+a-100a-10b-c=99c-99a=99(c-a) czyli dzieli sie przez 99
a) D = Ω
Ω = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) [pierwsza liczba nie może być 0 - nie będzie to wtedy liczba 3 cyfrowa, ostatnia liczba nie może być zerem - będzie wtedy podzielna przez 10]
Ω = 9 * 10 * 9 = 810
b) np. f(262) = 262
liczba, którą wkładamy do funkcji wygląda tak: xzy
gdzie x > 0 [bo np. 050 nie jest liczbą] i y różne od 0
By liczba była czytana od przody i od tyłu tak samo musi zajść związek:
x = y, z jest obojętną liczbą
Czyli możliwości mamy:
x = 9*10 = 90 [9 możliwości x = y, 10 możliwości z]
c) ∀ - kwantyfikator "dla każdego"
∃ - kwantyfikator "istnieje takie, że"
∀(n∈D) 99| f(n) - n [dla każdego n należącego do dziedziny 99 jest podzielnikiem f(n) - n]
z tego wynika, że:
∀(n∈D)∃(w∈C) f(n) - n = 99w [dla każdego n należącego do dziedziny, istnieje takie w należące do liczb całkowitych, że 99w = f(n) - n]
xyz: n = 100x + 10y + z
xyz: f(n) = 100z + 10y + x
Dowód:
f(n) - n = 100z + 10y + 1x - (100x + 10y + z) = 100z + 10y + 1x - 100x - 10y - z = 99z -99x = 99(z-x) = 99w
c. n. u. [co należało udowodnić]
Ω = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) [pierwsza liczba nie może być 0 - nie będzie to wtedy liczba 3 cyfrowa, ostatnia liczba nie może być zerem - będzie wtedy podzielna przez 10]
Ω = 9 * 10 * 9 = 810
b) np. f(262) = 262
liczba, którą wkładamy do funkcji wygląda tak: xzy
gdzie x > 0 [bo np. 050 nie jest liczbą] i y różne od 0
By liczba była czytana od przody i od tyłu tak samo musi zajść związek:
x = y, z jest obojętną liczbą
Czyli możliwości mamy:
x = 9*10 = 90 [9 możliwości x = y, 10 możliwości z]
c) ∀ - kwantyfikator "dla każdego"
∃ - kwantyfikator "istnieje takie, że"
∀(n∈D) 99| f(n) - n [dla każdego n należącego do dziedziny 99 jest podzielnikiem f(n) - n]
z tego wynika, że:
∀(n∈D)∃(w∈C) f(n) - n = 99w [dla każdego n należącego do dziedziny, istnieje takie w należące do liczb całkowitych, że 99w = f(n) - n]
xyz: n = 100x + 10y + z
xyz: f(n) = 100z + 10y + x
Dowód:
f(n) - n = 100z + 10y + 1x - (100x + 10y + z) = 100z + 10y + 1x - 100x - 10y - z = 99z -99x = 99(z-x) = 99w
c. n. u. [co należało udowodnić]
