Rozwiązane

Wyznaczyć wszystkie pary (x,y) liczb rzeczywistych dodatnich, spełniających równanie

(x^2010 - 1)(y^2009 - 1)= (x^2009 - 1)(y^2010 - 1)



Odpowiedź :

Trzeba zauważyć że każda dowolna para (1,y-rzeczywiste) oraz (x-rzeczywiste,1) spełnia to równanie doprowadzając do wzoru (x^2010-1)/(x^2009)=(y^2010-1)/(y^2009-1) oczywiście gdy x nie jest równe y, ale może to równanie spełniać też każda para liczb takich że x=y, czyli (x,x), (y,y). Koniec zadania
Janolek18
Niech x²⁰¹⁰=a², x²⁰⁰⁹=a, y²⁰⁰⁹=b, y²⁰¹⁰=b²
(a²-1)(b-1)=(a-1)(b²-1)
a²b-a²-b+1=ab²-a-b²+1
a²b-a²-ab²+a+b²-b=0
a²(b-1)-a(b²-1)+b(b-1)=0
a²(b-1)-a(b-1)(b+1)+b(b-1)=0
(b-1)[a²-ab-a+b]=0
(b-1)(a(a-1)-b(a-1))=0
(b-1)(a-1)(a-b)=0
(y²⁰⁰⁹-1)(x²⁰⁰⁹-1)(x²⁰⁰⁹-y²⁰⁰⁹)=0
y=1 i x∈R ∨x=1 i y∈R ∨ x=y

Inne Pytanie