Środkowa to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.
Rysunek w załączniku.
Teza:
[tex]P_{\triangle AEO}=P_{\triangle BEO}=P_{\triangle BFO}=P_{\triangle CFO}=P_{\triangle CDO}=P_{\triangle ADO}[/tex]
Założenia:
[tex]|AE|=|BE|=x\\|BF|=|CF|=y\\|CD|=|AD|=z[/tex]
Pole trójkąta to połowa iloczynu jego boku i wysokości prostopadłej do tego boku.
Uzasadnienie:
[tex]P_{\triangle AEO}=\frac12 x\cdot h_x=P_{\triangle BEO}\\\\P_{\triangle BFO}=\frac12 y\cdot h_y=P_{\triangle CFO}\\\\P_{\triangle ADO}=\frac12 z\cdot h_z=P_{\triangle CDO}[/tex]
[tex]P_{\triangle AEO}=P_{\triangle BEO}\ ;\quad P_{\triangle ADO}=P_{\triangle CDO}\ ;\quad P_{\triangle BFO}=P_{\triangle CFO}[/tex]
więc:
[tex]P_{\triangle AEC}=P_{\triangle AEO}+P_{\triangle ADO}+P_{\triangle CDO}=P_{\triangle AEO}+2P_{\triangle ADO}\\\\P_{\triangle BEC}=P_{\triangle BEO}+P_{\triangle BFO}+P_{\triangle CFO}=P_{\triangle AEO}+2P_{\triangle BFO}[/tex]
a ponieważ:
[tex]P_{\triangle AEC}=\frac12 x\cdot H_x=P_{\triangle BEC}[/tex]
to:
[tex]P_{\triangle AEO}+2P_{\triangle ADO}=P_{\triangle AEO}+2P_{\triangle BFO}\qquad/-P_{\triangle AEO}\\\\2P_{\triangle ADO}=2P_{\triangle BFO}\qquad/:2\\\\P_{\triangle ADO}=P_{\triangle BFO}[/tex]
Czyli również:
[tex]P_{\triangle CDO}=P_{\triangle CFO}=P_{\triangle ADO}=P_{\triangle BFO}[/tex]
Analogicznie:
[tex]P_{\triangle ADO}=P_{\triangle CDO}\ ;\quad P_{\triangle AEO}=P_{\triangle BEO}\ ;\quad P_{\triangle BFO}=P_{\triangle CFO}[/tex]
więc:
[tex]P_{\triangle ABD}=P_{\triangle ADO}+P_{\triangle AEO}+P_{\triangle BEO}=P_{\triangle ADO}+2P_{\triangle AEO}\\\\\ P_{\triangle BCD}=P_{\triangle CDO}+P_{\triangle BFO}+P_{\triangle CFO}=P_{\triangle ADO}+2P_{\triangle BFO}[/tex]
a ponieważ
[tex]P_{\triangle ABD}=\frac12 z\cdot H_z=P_{\triangle BCD}[/tex] to:
[tex]P_{\triangle ADO}+2P_{\triangle AEO}=P_{\triangle ADO}+2P_{\triangle BFO}\qquad/-P_{\triangle ADO}\\\\2P_{\triangle AEO}=2P_{\triangle BFO}\qquad/:2\\\\P_{\triangle AEO}=P_{\triangle BFO}[/tex]
czyli również:
[tex]P_{\triangle CDO}=P_{\triangle CFO}=P_{\triangle ADO}=P_{\triangle BFO}=P_{\triangle AEO}=P_{\triangle BEO}[/tex]
co należało wykazać.
