Odpowiedź :
Udowodnij, że jeśli "k" i "n" są liczbami naturalnymi oraz "1<=k<=n", to "k(n-k+1)>=n".
k≤n /(1-k) , gdzie 1-k<0
k(1-k)≥n(1-k)
k-k²≥n-nk
nk+k-k²≥n
k(n-k+1)≥n cnd.
k≤n /(1-k) , gdzie 1-k<0
k(1-k)≥n(1-k)
k-k²≥n-nk
nk+k-k²≥n
k(n-k+1)≥n cnd.
k(n-k+1)≥n
kn-k²+k-n≥0
n(k-1)-k(k-1)≥0
(n-k)(k-1)≥0
Z założeń wynika, że n zawsze będzie większe, bądź równe k, więc pierwszy nawias zawsze będzie dodatni. Z założeń wynika też, że k zawsze będzie większe lub równe 1, dlatego drugi nawias też zawsze będzie dodatni. Mnożenie dwóch liczb dodatnich zawsze da liczbę dodatnią, nierówność zachodzi, co należało udowodnić.
kn-k²+k-n≥0
n(k-1)-k(k-1)≥0
(n-k)(k-1)≥0
Z założeń wynika, że n zawsze będzie większe, bądź równe k, więc pierwszy nawias zawsze będzie dodatni. Z założeń wynika też, że k zawsze będzie większe lub równe 1, dlatego drugi nawias też zawsze będzie dodatni. Mnożenie dwóch liczb dodatnich zawsze da liczbę dodatnią, nierówność zachodzi, co należało udowodnić.
