szkoła średnia
Dział Liczby rzeczywiste
Założenia:
[tex]k-[/tex] dowolna liczba całkowita
Teza:
Istnieje niewymierna liczba [tex]x \in (k, k+1).[/tex]
Dowód:
Rozważmy dowolną liczbę całkowitą k.
Jeżeli k=0, to szukaną liczbą jest np. [tex]x=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \in (0,1).[/tex]
Jeżeli k=-1, to szukaną liczbą jest np. [tex]x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \in (-1,0).[/tex]
Zakładamy teraz, że [tex]k\not \in \{0,1\}.[/tex]
Niech [tex]k>0,[/tex] wtedy powinna zachodzić nierówność:
[tex]k<x<k+1[/tex]
Przekształcając ją dostajemy:
[tex]k^{2}<x^{2}<(k+1)^2\\k^{2}<x^{2}<k^{2}+2k+1[/tex]
Zauważmy następnie, że zachodzą nierówności [tex]k^{2}<k^{2}+1<k^{2}+2k+1[/tex]
Z powyższego dostajemy tezę biorąc w roli [tex]x=\sqrt{k^{2}+1}.[/tex]
O ile widzimy, że liczba ta należy do żądanego przedziału o tyle uzasadnienie jej niewymierności wymaga komentarza:
Dodatnimi liczbami całkowitymi, które są kwadratami liczb naturalnych są kolejno: [tex]1,4,9,16,25,\ldots.[/tex] Zauważmy, że różnice pomiędzy tymi liczbami są coraz większe i z całą pewnością dodanie liczby 1 do kwadratu liczby naturalnej nie da nam żadnej z powyższych liczb całkowitych.
Dla [tex]k\in \{-2,-3,\ldots\},[/tex] wtedy wystarczy wziąć [tex]x=-\sqrt{k^{2}+1}.[/tex]
Co kończy dowód.
