Rozwiązane

Udowodnij, że jeżeli dwie liczby przy dzieleniu przez trzecią dają taką samą resztę to ich różnica jest podzielna przez tę trzecią liczbę



Odpowiedź :

Weźmy, że te nieznane trzy liczby x, y, z. Powiedzmy że liczby x i y będziemy dzielić przez z. Wtedy mamy, że
x:z=q₁ reszty r
y:z=q₂ reszty r
(bo z treści zadania mamy że przy dzieleniu dają taką samą resztę). Liczby q₁ i q₂ są całościami z dzielenia, ale nie mają one tu większego znaczenia. Teraz zapiszmy te liczby tak jakbyśmy sprawdzali dzielenie z resztą a mianowicie
x=q₁*z+r
y=q₂*z+r
Odejmujemy je stronami i mamy, że
x-y=q₁*z-q₂*z+r-r=q₁*z-q₂*z+0=q₁*z-q₂*z=z(q₁+q₂). Zatem skoro liczbę x-y możemy zapisać w postaci mnożenia liczby z i jakiejś innej to oznacza że liczba x-y dzieli się na z co zapisujemy z|(x-y) :)
Xxllalaxx
a, d,-dwie liczby, b- trzecia liczba, c- iloraz całkowity z dzielenia a przez b, y- iloraz całkowity z dzielenia d przez b, x-reszta z obu dzieleń

a/b = c + x/b | *b
a = cb + xb/b
a = cb + x

d/b = y + x/b | *b
d = yb + x

a-d/b = (cb+x)-(yb+x) / b = cb+x-yb-x / b = cb-yb / b = b(c-y) / b = c-y

Inne Pytanie