Rozwiązane

Suma wyrazów szóstego i ósmego pewnego ciągu arytmetycznego jest równa 40, a iloczyn wyrazów drugiego i trzeciego też jest równy 40. Wyznacz wyciąg.



Odpowiedź :

Suma wyrazów szóstego i ósmego pewnego ciągu arytmetycznego jest równa 40, a iloczyn wyrazów drugiego i trzeciego też jest równy 40. Wyznacz wyciąg.

a6+a8=40
a2*a3=40

a6=a1+5r
a8=a1+7r

a1+5r+a1+7r=40
2a1+12r=40//:2
a1+6r=20
a1=20-6r

a2=a1+r
a3=a1+2r
(a1+r)(a1+2r)=40
a1²+2a1r+a1r+2r²=40
a1²+3a1r+2r²=40
(20-6r)²+3r(20-6r)+2r²=40
400-240r+36r²+60r-18r²+2r²=40
20r²-180r+400=40
20r²-180r+360=0//:20
r²-9r+18=0
Δ=81-4*1*18=81-72=9
√Δ=3
r1=9-3/2=6/2=3
r2=9+3/2=12/2=6

a1=20-6r
a1=20-6*3=20-18=2 lub a1=20-6*6=20-36=-16
a6 + a8 = 40
a2 x a3 = 40
Należy skorzysta ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego
an = a1 + ( n-1)x r
czyli a6 = a1 +(6-1) x r = a1 + 5r
a8 = a1 +( 8-1 ) x r = a1 +7r
a2 = a1+( 2-1 ) x r = a1 +r
a3 = a1 +(3-1 ) x r = a1 + 2r

POWTAJE UKŁAD RÓWNAŃ :
(a1 +5r) + (a1 + 7r) = 40
(a1+ r) ( a1 +2r ) = 40


2a1 +12 r = 40 /:2
a1 + 6r = 20
obliczam a1 = 20 - 6r i podstawiam do drugiego równania
( 20 - 6r +r ) ( 20 -6r +2r ) = 40
(20 - 5 r ) ( 20 - 4 r ) = 40
400 -80 r - 100 r + 20 r² =40
20 r²-180 r + 400 -40 = 0
20 r² -180 r +360 = 0 /: 20
r² -9r +18 = 0

Obliczam wyróżnik delta = (-9 )²-4x1 x 18 =81 -72 =9
√ delta = 3

r1 = {-(-9)- 3} :2x1 = 6:2 =3
r2 ={-(-9)+ 3} : 2x1 =12:2=6


gdy r1=3, to a1=20-6r
a1= 20-6x3=20-18
a1 = 2
wówczas mamy ciąg arytmetyczny rosnący

gdy r2=6, to a1= 20-6r
a1= 20-6x6 = 20-36
a1 = -16
w owczas mamy ciąg arytmetyczny malejacy