Odpowiedź :
zad.1
(a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)²
a²c²+a²d²+b²c²+b²d²≥a²c²+2abcd+b²d²
a²d²+b²c²≥2abcd
a²d²+b²c²-2abcd≥0
(ad-bc)²≥0
Co jest zawsze prawdą bo kwadrat jakiejkolwiek liczby jest nieujemy.
zad.2
Najpierw liczymy ile wynosi a zatem a - (1/a)=5 czyli mnożąc obie strony przez a mamy a²-1=5a, przenosimy 5a na lewą stronę i rozwiązujemy równanie kwadratowe a²-5a-1=0
Δ=(-5)²-4*1*(-1)=25+4=29, zatem a₁=(5-√29)/2 lub a₂=(5+√29)/2
Wstawiamy je do wyrażenia a³-1/(a³) wtedy
dla a₁ mamy [(5-√29)/2]³-1/[(5-√29)/2]³ = [(5-√29)/2]³*[(5-√29)/2]³-(1/[(5-√29)/2]³)*[(5-√29)/2]³=[(5-√29)/2]⁶-[(5-√29)/2]³=[(5-√29)⁶/2⁶]-[(5-√29)³/2³]
mamy
2³=8
2⁶=64
(5-√29)³=5³-3*5²*√29+3*5*(√29)²+(√29)³=125-75√29+435+29√29=560-46√29
(5-√29)⁶=(5-√29)³*(5-√29)³=(560-46√29)*(560-46√29)=(560-46√29)²=560²-2*560*46√29+(√29)²=313600-51520√29+29=313629-51520√29
Zatem
[(5-√29)/2]³-1/[(5-√29)/2]³ =[313629-51520√29]-[560-46√29]=
313629-51520√29-560+46√29=313069-51474√29
Z drugim rozwiązaniem robi się analogicznie :)
Zad3
Jeśli jest podzielna przez 6 to oznacza że musi się dzielić przez 2 i przez 3. Mamy k⁵-k=k(k⁴-1)=k(k²-1)(k²+1)=(k-1)k(k+1)(k²+1) Jeśli w rozkładzie na czynniki pierwsze mamy pomnożone przez siebie trzy kolejne liczby k-1, k, k+1, to oznacza że któraś z nich musi być liczbą parzystą (występują co 2) zatem dzieli się na pewno przez 2.
Wszystkie liczby można zapisać w postaci 3m, 3m+1 lub 3m+2. Podstawiamy je za k i patrzymy czy otrzymana liczba dzieli się przez 3. Jeśli za
k=3m wtedy
k⁵-k=(3m-1)3m(3m+1)((3m)²+1)=3[(3m-1)m(3m+1)((3m)²+1)] zatem dzieli się na 3
k=3m+1 wtedy
k⁵-k=(3m+1-1)(3m+1)(3m+1+1)((3m+1)²+1)=3m(3m+1)(3m+2)((3m+1)²+1)=3[m(3m+1)(3m+2)((3m+1)²+1)] już w czynnikach mamy 3 więc dzieli się na 3
dla k=3m+2 wtedy
k⁵-k=(3m+2-1)(3m+2)(3m+2+1)((3m+2)²+1)=(3m+1)(3m+2)(3m+3)(3m+2)²+1)=3[(3m+1)(3m+2)(m+1)(3m+2)²+1)] zatem znów dzieli się przez 3.
Zatem liczba ta dzieli się przez 6.
zad 4
rozwiąż równanie
(3/x)-1=2y-3 /*x
3-x=2xy-3x
3-x-2xy+3x=0
3-2xy+2x=0
x(2-2y)=-3 /*(-1)
x(2y-2)=3
Jedynymi możliwościami aby iloczyn tych liczb wynosił 3 i były one liczbami naturalnymi różnymi od zera są
x=1 i 2y-2=3, zatem 2y=3+2, 2y=5, y=5/2 (odpada bo y ∉N₊)
x=3 i 2y-2=1, zatem 2y=2+1, 2y=3, y=3/2 (odpada bo y ∉N₊)
To równanie nie ma rozwiązania w N₊.
(a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)²
a²c²+a²d²+b²c²+b²d²≥a²c²+2abcd+b²d²
a²d²+b²c²≥2abcd
a²d²+b²c²-2abcd≥0
(ad-bc)²≥0
Co jest zawsze prawdą bo kwadrat jakiejkolwiek liczby jest nieujemy.
zad.2
Najpierw liczymy ile wynosi a zatem a - (1/a)=5 czyli mnożąc obie strony przez a mamy a²-1=5a, przenosimy 5a na lewą stronę i rozwiązujemy równanie kwadratowe a²-5a-1=0
Δ=(-5)²-4*1*(-1)=25+4=29, zatem a₁=(5-√29)/2 lub a₂=(5+√29)/2
Wstawiamy je do wyrażenia a³-1/(a³) wtedy
dla a₁ mamy [(5-√29)/2]³-1/[(5-√29)/2]³ = [(5-√29)/2]³*[(5-√29)/2]³-(1/[(5-√29)/2]³)*[(5-√29)/2]³=[(5-√29)/2]⁶-[(5-√29)/2]³=[(5-√29)⁶/2⁶]-[(5-√29)³/2³]
mamy
2³=8
2⁶=64
(5-√29)³=5³-3*5²*√29+3*5*(√29)²+(√29)³=125-75√29+435+29√29=560-46√29
(5-√29)⁶=(5-√29)³*(5-√29)³=(560-46√29)*(560-46√29)=(560-46√29)²=560²-2*560*46√29+(√29)²=313600-51520√29+29=313629-51520√29
Zatem
[(5-√29)/2]³-1/[(5-√29)/2]³ =[313629-51520√29]-[560-46√29]=
313629-51520√29-560+46√29=313069-51474√29
Z drugim rozwiązaniem robi się analogicznie :)
Zad3
Jeśli jest podzielna przez 6 to oznacza że musi się dzielić przez 2 i przez 3. Mamy k⁵-k=k(k⁴-1)=k(k²-1)(k²+1)=(k-1)k(k+1)(k²+1) Jeśli w rozkładzie na czynniki pierwsze mamy pomnożone przez siebie trzy kolejne liczby k-1, k, k+1, to oznacza że któraś z nich musi być liczbą parzystą (występują co 2) zatem dzieli się na pewno przez 2.
Wszystkie liczby można zapisać w postaci 3m, 3m+1 lub 3m+2. Podstawiamy je za k i patrzymy czy otrzymana liczba dzieli się przez 3. Jeśli za
k=3m wtedy
k⁵-k=(3m-1)3m(3m+1)((3m)²+1)=3[(3m-1)m(3m+1)((3m)²+1)] zatem dzieli się na 3
k=3m+1 wtedy
k⁵-k=(3m+1-1)(3m+1)(3m+1+1)((3m+1)²+1)=3m(3m+1)(3m+2)((3m+1)²+1)=3[m(3m+1)(3m+2)((3m+1)²+1)] już w czynnikach mamy 3 więc dzieli się na 3
dla k=3m+2 wtedy
k⁵-k=(3m+2-1)(3m+2)(3m+2+1)((3m+2)²+1)=(3m+1)(3m+2)(3m+3)(3m+2)²+1)=3[(3m+1)(3m+2)(m+1)(3m+2)²+1)] zatem znów dzieli się przez 3.
Zatem liczba ta dzieli się przez 6.
zad 4
rozwiąż równanie
(3/x)-1=2y-3 /*x
3-x=2xy-3x
3-x-2xy+3x=0
3-2xy+2x=0
x(2-2y)=-3 /*(-1)
x(2y-2)=3
Jedynymi możliwościami aby iloczyn tych liczb wynosił 3 i były one liczbami naturalnymi różnymi od zera są
x=1 i 2y-2=3, zatem 2y=3+2, 2y=5, y=5/2 (odpada bo y ∉N₊)
x=3 i 2y-2=1, zatem 2y=2+1, 2y=3, y=3/2 (odpada bo y ∉N₊)
To równanie nie ma rozwiązania w N₊.
