Odpowiedź :
1. wyznacz współczynnik a,b,c,d wielomianu
W(x)=ax³+bx²+cx+d, jeśliW(x)=a(x+2)(x-4)² i wartość wielomianu dla x=6 wynosi 16.
W(x)=ax³+bx²+cx+d
W(x)=a(x+2)(x-4)² ∧W(6)=16
W(x)=a(x+2)(x²-8x+16)=a(x³-8x²+16x+2x²-16x+32)=ax³-6ax²+32a
W(6)=216a-216a+32a=16→32a=16→a=1/2
W(x)=ax³-6ax²+32a ∧a=1/2
stąd W(x)=1/2 x³-3x²+16
W(x)=ax³+bx²+cx+d ∧ W(x)=1/2 x³-3x²+16
czyli a=1/2, b=-3, c=0, d=16
2.oblicz współczynniki liczbowe p i q wielomianu W(x)=x³+px²+qx-5, wiedzac ze W(-1)=1 i W(2)=13
W(-1)=-1+p-q-5 =1
W(2)=8+4p+2q-5=13
p-q=1+6
4p+2q=13-3
p-q=7 /2
4p+2q=10
2p-2q=14
4p+2q=10
razem:6p=24
p=4 →4-q=7→→q=-3
p=4, q=-3
3.dane sa wielommianyW(x)=9x^3+3x^2-17x-4 , Q(x)=3x^2+5x+2 oraz P(x)=mx+n.oblicz dla jakich wartości współczynników m i n wielomian W(x)+P(x) jest rowny wielomianowi Q(x)*P(x)
W(x)=9x³+3x²-17x-4
Q(x)=3x²+5x+2
P(x)=mx+n
W(x)+P(x) =Q(x)*P(x)
9x³+3x²-17x-4+mx+n=(3x²+5x+2 )(mx+n)
9x³+3x²-17x+mx+n-4=3mx³+3nx²+5mx²+5nx+2 mx+2n
9x³+3x²+(-17+m)x+(n-4)=3mx³+(3n+5m)x²+(5n+2 m)x+2n
9=3m→→m=3
3=3n+5m→→3=3n+15→3n=-12→n=-4
spr. -17+m=5n+2 m→→-14=5n+6→→5n=-20→→n=-4
spr. n-4=2n→→-4=n
czyli: m=3, n=-4
4.wielomian W(x)=(x-x1(małe jeden))(x-x2(małe 2))(x-x3(małe 3)) ma trzy pierwiastki , takie ze drugi jest o dwa wiekszy od trzeciego a trzeci jest dwa razy mniejszy od pierwszego.oblicz pierwiastki tego wielomianu wiedząc ze W(2)=-12.
W(x)=(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)
x₂=2+x₃
x₃=1/2x₁→x₁=2x₃
W(x)=(x-2x₃)(x-2-x₃)(x-x₃) ∧ W(2)=-12.
W(2)=(2-2x₃)(2-2-x₃)(2-x₃) =-12.
(2-2x₃)(-x₃)(2-x₃) =-12.
-x₃(2-2x₃)(2-x₃) =-12
-x₃(4-2x₃-4x₃+2x₃²) =-12
-4x₃+6x₃²-2x₃³ +12=0 /:(-2)
-4x₃+6x₃²+12=0 /:(-2)
x₃³-3x₃²+2x₃-6=0
x₃²(x₃-3)+2(x₃-3)=0
(x₃²+2)(x₃-3)=0
x₃²+2=0 sprzeczne , x₃-3=0→→x₃=3
x₂=2+3=5
x₁=2*3=6
Pierwiastki wynosza:x₁=6, x₂=5, x₃=3
W(x)=ax³+bx²+cx+d, jeśliW(x)=a(x+2)(x-4)² i wartość wielomianu dla x=6 wynosi 16.
W(x)=ax³+bx²+cx+d
W(x)=a(x+2)(x-4)² ∧W(6)=16
W(x)=a(x+2)(x²-8x+16)=a(x³-8x²+16x+2x²-16x+32)=ax³-6ax²+32a
W(6)=216a-216a+32a=16→32a=16→a=1/2
W(x)=ax³-6ax²+32a ∧a=1/2
stąd W(x)=1/2 x³-3x²+16
W(x)=ax³+bx²+cx+d ∧ W(x)=1/2 x³-3x²+16
czyli a=1/2, b=-3, c=0, d=16
2.oblicz współczynniki liczbowe p i q wielomianu W(x)=x³+px²+qx-5, wiedzac ze W(-1)=1 i W(2)=13
W(-1)=-1+p-q-5 =1
W(2)=8+4p+2q-5=13
p-q=1+6
4p+2q=13-3
p-q=7 /2
4p+2q=10
2p-2q=14
4p+2q=10
razem:6p=24
p=4 →4-q=7→→q=-3
p=4, q=-3
3.dane sa wielommianyW(x)=9x^3+3x^2-17x-4 , Q(x)=3x^2+5x+2 oraz P(x)=mx+n.oblicz dla jakich wartości współczynników m i n wielomian W(x)+P(x) jest rowny wielomianowi Q(x)*P(x)
W(x)=9x³+3x²-17x-4
Q(x)=3x²+5x+2
P(x)=mx+n
W(x)+P(x) =Q(x)*P(x)
9x³+3x²-17x-4+mx+n=(3x²+5x+2 )(mx+n)
9x³+3x²-17x+mx+n-4=3mx³+3nx²+5mx²+5nx+2 mx+2n
9x³+3x²+(-17+m)x+(n-4)=3mx³+(3n+5m)x²+(5n+2 m)x+2n
9=3m→→m=3
3=3n+5m→→3=3n+15→3n=-12→n=-4
spr. -17+m=5n+2 m→→-14=5n+6→→5n=-20→→n=-4
spr. n-4=2n→→-4=n
czyli: m=3, n=-4
4.wielomian W(x)=(x-x1(małe jeden))(x-x2(małe 2))(x-x3(małe 3)) ma trzy pierwiastki , takie ze drugi jest o dwa wiekszy od trzeciego a trzeci jest dwa razy mniejszy od pierwszego.oblicz pierwiastki tego wielomianu wiedząc ze W(2)=-12.
W(x)=(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)
x₂=2+x₃
x₃=1/2x₁→x₁=2x₃
W(x)=(x-2x₃)(x-2-x₃)(x-x₃) ∧ W(2)=-12.
W(2)=(2-2x₃)(2-2-x₃)(2-x₃) =-12.
(2-2x₃)(-x₃)(2-x₃) =-12.
-x₃(2-2x₃)(2-x₃) =-12
-x₃(4-2x₃-4x₃+2x₃²) =-12
-4x₃+6x₃²-2x₃³ +12=0 /:(-2)
-4x₃+6x₃²+12=0 /:(-2)
x₃³-3x₃²+2x₃-6=0
x₃²(x₃-3)+2(x₃-3)=0
(x₃²+2)(x₃-3)=0
x₃²+2=0 sprzeczne , x₃-3=0→→x₃=3
x₂=2+3=5
x₁=2*3=6
Pierwiastki wynosza:x₁=6, x₂=5, x₃=3
