Rozwiązane

1)Zapisz wzór funkcji f(x)=4-|3-2x| bez symbolu wartości bezwzględnej. Określ jej zbiór wartości i monotoniczność.
2)Rozwiąż nierówność f(x+1)+3 f(x-1)-5 f(x)<0, jeśli f(x)=x²-1



Odpowiedź :

1)f(x)=4-|3-2x|
Liczymy najpierw liczbę dla której będziemy rozpatrywać dwa przedziały 3-2x=0, -2x=-3 /:(-2), x=3/2
I. (-∞, 3/2>
II.(3/2, +∞)

I.x∈ (-∞, 3/2>
W tym przedziale 3-2x≥0 (weź dowolną liczbę z tego przedziału np (-4) i masz wtedy 3-2*(-4)=3+8=11)
Zatem przepisuję to bez zmiany znaku
dla x∈ (-∞, 3/2> mamy f(x)=4-(3-2x)=4-3+2x=2x+1

II. x∈(3/2, +∞)
W tym przedziale 3-2x<0 (weź dowolną liczbę z tego przedziału np 4 i masz wtedy 3-2*4=3-8=-5 )
Zatem przepisuję to ze zmianą znaku czyli z minusem
dla x∈ (-∞, 3/2> mamy f(x)=4-[-(3-2x)]=4-[-3+2x]=4+3-2x=7-2x

Zatem
f(x)=2x+1 dla x∈ (-∞, 3/2> ZW=(-∞,4>, rosnąca
f(x)=7-2x dla x∈(3/2, +∞) ZW=(4,+∞), malejąca

2)
f(x+1)+3 f(x-1)-5 f(x)<0
(x+1)²-1+3[(x-1)²-1]-5[x²-1]<0
x²+2x+1-1+3[x²-2x+1-1]-5x²+5<0
x²+2x+3x²-6x-5x²+5<0
-x²-4x+5<0
Liczymy deltę
Δ=(-4)²-4*(-1)*5=16+20=36, √Δ=6
x₁=[-(-4)-6]/[2*(-1)]=[4-6]/[-2]=(-2)/(-2)=1
x₂=[-(-4)+6]/[2*(-1)]=[4+6]/[-2]=10/(-2)=(-5)
Rysujemy oś, na niej zaznaczamy punkty 1 mi (-5) rysujemy przez nią parabolę z ramionami w dół (przy x² stoi (-1) a liczb ta jest mniejsza od zera więc ramiona są w dół), odczytujemy przedział pod osią i mamy rozwiązanie
x∈(-∞,-5)U(1,+∞)

Inne Pytanie