a/b + b/a ≥ 2 dla a,b >0
do wspólnego mianownika
a*a/b*a+b*b/b*a≥2
a²/a*b+b²/a*b≥2a*b/a*b
(a²+b²)/a*b≥2a*b/a*b
porównujemy liczniki
a²+b²≥2ab
a²-2ab+b²≥0
wzór skróconego mnożenia
(a-b)²≥0
dla każdego a i b kwadrat ich różnicy jest większy lub równy zero
2( a² + b²) ≥ (a+b)²
2a² + 2b² ≥ a²+2ab+b²
2a²-a² -2ab+2b² -b²≥ 0
a²-2ab+b² ≥ 0
(a-b)²≥0
jak wyżej
1/a + 1/b ≥ 4/a+b dla a,b >0
sprowadzamy do wspólnego mianownika którym jest iloczyn ab*(a+b)
1*b/a*b + 1*a/a*b ≥ 4/a+b
(a+b)/ab≥ 4/a+b
(a+b)*(a+b)/ab*(a+b)≥4*ab/(a+b)*ab
(a+b)²/ab*(a+b)≥4*ab/(a+b)*ab
(a+b)²≥4*ab
a²+2ab+b²≥4*ab
a²+2ab-4*ab+b²≥0
a²-2ab+b²≥0
(a-b)²≥0
i włala
