Rozwiązane

Zbadaj monotoniczność ciągu an = 3n + 10 (ułamek)
2n + 7



Odpowiedź :

Janek191
an =(3n+10)/(2n+7)
an+1 = [3*(n+1) +10]/[2*(n+1) +7] = (3n+13)/(2n+9)
Obliczamy
(an+1) - an = [(3n+13)/(2n+9)] - (3n+10)/(2n+7)
Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika i wykonaniu
odejmowania otrzymamy
(an+1) - an = 1 : [(2n+9)*(2n+7)]
Ta różnica jest liczba większą od 0, bo mianownik ułamka
jest liczbą większą lub równą 99 dla n większego lub
równego 1.
Zatem ten ciąg jest rosnący.
Zbadaj monotoniczność ciągu an = 3n + 10 (ułamek)
2n + 7
monotoniczność spraewdzamy obliczając różnicę między kolejnymi wyrazami ciągu np. a n+1 - a n

a n+1 - a n=[3(n+1) + 10] / [2(n+1) + 7] - [3n + 10]/[2n + 7] =
[3n+3 + 10] / [2n+2 + 7] - [3n + 10]/[2n + 7] =
[3n+13] / [2n+9] - [3n + 10]/[2n + 7] =
wspólny mianownik
[3n+13] [2n + 7]/ [2n + 7][2n+9] - [3n + 10][2n+9]/[2n + 7][2n+9] =
[6n²+21n +26n+ 91]/ [2n + 7][2n+9] - [6n² + 27n+20n+90]/[2n + 7][2n+9] =
[6n²+21n +26n+ 91]- [6n² + 27n+20n+90]/ [2n + 7][2n+9] =
[6n²+21n +26n+ 91- 6n² - 27n-20n-90]/ [2n + 7][2n+9] =
1 / [2n + 7][2n+9] >0 ponieważ mianownik jest >0, bo n∈N
czyli ciąg jest rosnący