Odpowiedź :
tg a + ctg a = 4
ponieważ ctg α=1/tg α to jeśli podstawimy za tg α=t to otrzymamy
t+1/t=4 / *t
t²+1=4t
t²-4t+1=0
Δ=(-4)²-4*1*1=16-4=12=4*3
√Δ=2√3
t1=(4-2√3)/2=2-√3
t2=2+√3
Otrzymalismy dwa rozwiazania:
1. tgα=2-√3
ctgα=1/(2-√3)= mnożę licznik i mianownik przez 2+√3 aby pozbyć się niewymierności (pierwiastka) z mianownika i otrzymuję
ctg α=(2+√3)/(2-√3)(2+√3)=(2+√3)/(4-3)=2+√3
Teraz obliczenia:
a) | tg a - ctg a |=|2-√3-(2+√3)|=|2-√3-2-√3|=2√3
b) tg^{2} a + ctg^{2} a=(2-√3)²+(2+√3)²=4-4√3+3+4+4√3+3=14
c) tg^{3} a + ctg^{3} a=(2-√3)³+(2+√3)³=
http://www.matma.prv.pl/wzorysm.php
(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
=8-12√3+18-3√3+8+12√3+18+3√3=52
d) tg^{4} a + ctg^{4} a =
znów wzory : (a+b)^4=a^4+4a³b+6a²b²+4ab³+b^4
(a-b)^4=a^4-4a³b+6a²b²-4ab³+b^4
czyli =(2-√3)^4+(2+√3)^4=16+72+9+16+72+9=194
2. drugie rozwiazanie jest analogiczne do 1. tylko tgα i ctg α zamieniaja się miejscami czyli tgα=2+√3 a ctg α=2-√3. Dalsze obliczenia są identyczne i dają identyczne rezultaty.
ponieważ ctg α=1/tg α to jeśli podstawimy za tg α=t to otrzymamy
t+1/t=4 / *t
t²+1=4t
t²-4t+1=0
Δ=(-4)²-4*1*1=16-4=12=4*3
√Δ=2√3
t1=(4-2√3)/2=2-√3
t2=2+√3
Otrzymalismy dwa rozwiazania:
1. tgα=2-√3
ctgα=1/(2-√3)= mnożę licznik i mianownik przez 2+√3 aby pozbyć się niewymierności (pierwiastka) z mianownika i otrzymuję
ctg α=(2+√3)/(2-√3)(2+√3)=(2+√3)/(4-3)=2+√3
Teraz obliczenia:
a) | tg a - ctg a |=|2-√3-(2+√3)|=|2-√3-2-√3|=2√3
b) tg^{2} a + ctg^{2} a=(2-√3)²+(2+√3)²=4-4√3+3+4+4√3+3=14
c) tg^{3} a + ctg^{3} a=(2-√3)³+(2+√3)³=
http://www.matma.prv.pl/wzorysm.php
(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
=8-12√3+18-3√3+8+12√3+18+3√3=52
d) tg^{4} a + ctg^{4} a =
znów wzory : (a+b)^4=a^4+4a³b+6a²b²+4ab³+b^4
(a-b)^4=a^4-4a³b+6a²b²-4ab³+b^4
czyli =(2-√3)^4+(2+√3)^4=16+72+9+16+72+9=194
2. drugie rozwiazanie jest analogiczne do 1. tylko tgα i ctg α zamieniaja się miejscami czyli tgα=2+√3 a ctg α=2-√3. Dalsze obliczenia są identyczne i dają identyczne rezultaty.
Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia:
(a+b)² = a²+2ab+b²
a²-2ab+b² = (a-b)²
a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)
gdzie a=tgα i b=ctgα
oraz z tożsamości trygonometrycznej: tgα·ctgα=1
W przykładach c) i d) wykorzystujemy wynik z przykładu b)
a)
[tex]\text{tg\,}\alpha+\text{ctg\,}\alpha=4\\\\(\text{tg\,}\alpha+\text{ctg\,}\alpha)^2=4^2\\\\\text{tg}^2\alpha+2\text{tg\,}\alpha\,\text{ctg\,}\alpha+\text{ctg}^2\alpha=16\\\\\text{tg}^2\alpha-2\text{tg\,}\alpha\,\text{ctg\,}\alpha+\text{ctg}^2\alpha+4\text{tg\,}\alpha\,\text{ctg\,}\alpha=16\\\\(\text{tg\,}\alpha-\text{ctg\,}\alpha)^2+4\cdot1=16\\\\(\text{tg\,}\alpha-\text{ctg\,}\alpha)^2=12\\\\\sqrt{(\text{tg\,}\alpha-\text{ctg\,}\alpha)^2}=\sqrt{12}\\\\|\text{tg\,}\alpha-\text{ctg\,}\alpha|=2\sqrt3[/tex]
b)
[tex]\text{tg\,}\alpha+\text{ctg\,}\alpha=4\\\\(\text{tg\,}\alpha+\text{ctg\,}\alpha)^2=4^2\\\\\text{tg}^2\alpha+2\text{tg\,}\alpha\,\text{ctg\,}\alpha+\text{ctg}^2\alpha=16\\\\\text{tg}^2\alpha+2\cdot1+\text{ctg}^2\alpha=16\\\\\text{tg}^2\alpha+\text{ctg}^2\alpha=14[/tex]
c)
[tex]\text{tg\,}\alpha+\text{ctg\,}\alpha=4\ ,\qquad\ \ \text{tg\,}\alpha\,\text{ctg\,}\alpha=1\\\\\\ \text{tg}^3\alpha+\text{ctg}^3\alpha=(\text{tg\,}\alpha+\text{ctg\,}\alpha)(\text{tg}^2\alpha-\text{tg\,}\alpha\,\text{ctg\,}\alpha+\text{ctg}^2\alpha)=\\\\=(\text{tg\,}\alpha+\text{ctg\,}\alpha)(\text{tg}^2\alpha+\text{ctg}^2\alpha-\text{tg\,}\alpha\,\text{ctg\,}\alpha)=4\cdot(14-1)=4\cdot13=52[/tex]
d)
[tex]\text{tg}^2\alpha+\text{ctg}^2\alpha=14\\\\(\text{tg}^2\alpha+\text{ctg}^2\alpha)^2=14^2\\\\\text{tg}^4\alpha+2\,\text{tg}^2\alpha\,\text{ctg}^2\alpha+\text{ctg}^4\alpha=196\\\\\text{tg}^4\alpha+2\,(\text{tg\,}\alpha\,\text{ctg\,}\alpha)^2+\text{ctg}^4\alpha=196\\\\\text{tg}^4\alpha+2\cdot1^2+\text{ctg}^4\alpha=196\\\\\text{tg}^4\alpha+\text{ctg}^4\alpha=194[/tex]
