Odpowiedź :
a) Suma kwadratu pewnej liczby i jej odwrotności wynosi 2. Znajdz tę liczbę.
x² +1/x² = 2
(x² *x² +1): x² -(2x²): x² = 0
(x⁴ +1 -2x² ) : x² = 0 zał. x²≠ 0
x≠ 0
x⁴ -2x² +1 = 0
wstawiam dodatkową niewiadomą t =x²
t² -2 t +1 = 0
Δ = b² - 4 ac
Δ = (-2)² - 4 *1*1 = 4 -4 =0
t₁ = t₂ =(-b):2a
t₁ = t₂ = -(-2):2*1=2:2 =1
t₁ = t₂ = 1
Powracam do poprzedniego oznaczenia
x² = t
x² = 1
x² -1 = 0 ze wzoru skróconego mnożenia a² -b² = (a-b)(a+b)
(x-1 )(x+1) = 0
x-1 =0 lub x+1 =0
x = 1 lub x = -1
b)Suma dwóch liczb wynosi 3, a suma odwrotności tych liczb jest równa 2 2/5. Znajdz te liczby.
powstaje układ 2 równań z 2-ma niewiadomymi
x+y = 3 - suma dwóch liczb =3
1/x +1/y = 2 i 2/5 suma odwrotności tych liczb
x+y = 3
1/x +1/y = 2 i 2/5 wspólny mianownik x*y
y =3-x
(y+x):xy =12/5
y =3-x
(3-x+x):[x(3-x)] =12/5
y =3-x
3: x(3-x)] =12/5
y =3-x
12x(3-x) =15 /:3
y =3-x
4x(3-x) = 5
y =3-x
12x -4x² -5 =0
Z drugiego równania obliczm Δ
12x -4x² -5 =0
a=12
b =-4
c =5
Δ =(-4)² -4*12*(-5) = 16 +240 =256
Δ = 256
√Δ =√ 256 = 16
x₁ = ( -b-√Δ ) :2a
x₁ =[-(-4) -16]:2*12 = (4-16): 24 = -12/24 = - 1/2
x₁ = -½
x₂ =( -b+√Δ ) :2a
x₂ ==[-(-4) +16]:2*12 = (4+16): 24 = 20/24 = 5/6
x₂ =5/6
Obliczm y
y₁ = 3 - x₁
y₁ = 3-(-1/2) =3 +½ =3½
y₂ = 3 - x₂
y₂ = 3 - 5/6 =2 i 1/6
y₂ = 2 i 1/6
Odp. x₁ = -½ i y₁ =3½ lub
x₂ =5/6 i y₂ =2 i1/6
x² +1/x² = 2
(x² *x² +1): x² -(2x²): x² = 0
(x⁴ +1 -2x² ) : x² = 0 zał. x²≠ 0
x≠ 0
x⁴ -2x² +1 = 0
wstawiam dodatkową niewiadomą t =x²
t² -2 t +1 = 0
Δ = b² - 4 ac
Δ = (-2)² - 4 *1*1 = 4 -4 =0
t₁ = t₂ =(-b):2a
t₁ = t₂ = -(-2):2*1=2:2 =1
t₁ = t₂ = 1
Powracam do poprzedniego oznaczenia
x² = t
x² = 1
x² -1 = 0 ze wzoru skróconego mnożenia a² -b² = (a-b)(a+b)
(x-1 )(x+1) = 0
x-1 =0 lub x+1 =0
x = 1 lub x = -1
b)Suma dwóch liczb wynosi 3, a suma odwrotności tych liczb jest równa 2 2/5. Znajdz te liczby.
powstaje układ 2 równań z 2-ma niewiadomymi
x+y = 3 - suma dwóch liczb =3
1/x +1/y = 2 i 2/5 suma odwrotności tych liczb
x+y = 3
1/x +1/y = 2 i 2/5 wspólny mianownik x*y
y =3-x
(y+x):xy =12/5
y =3-x
(3-x+x):[x(3-x)] =12/5
y =3-x
3: x(3-x)] =12/5
y =3-x
12x(3-x) =15 /:3
y =3-x
4x(3-x) = 5
y =3-x
12x -4x² -5 =0
Z drugiego równania obliczm Δ
12x -4x² -5 =0
a=12
b =-4
c =5
Δ =(-4)² -4*12*(-5) = 16 +240 =256
Δ = 256
√Δ =√ 256 = 16
x₁ = ( -b-√Δ ) :2a
x₁ =[-(-4) -16]:2*12 = (4-16): 24 = -12/24 = - 1/2
x₁ = -½
x₂ =( -b+√Δ ) :2a
x₂ ==[-(-4) +16]:2*12 = (4+16): 24 = 20/24 = 5/6
x₂ =5/6
Obliczm y
y₁ = 3 - x₁
y₁ = 3-(-1/2) =3 +½ =3½
y₂ = 3 - x₂
y₂ = 3 - 5/6 =2 i 1/6
y₂ = 2 i 1/6
Odp. x₁ = -½ i y₁ =3½ lub
x₂ =5/6 i y₂ =2 i1/6
