1)
√5/(√2 + √5) = [√5(√2 - √5)]/[(√2 + √5)(√2 - √5)] = (√10 - 5)/(2 - 5) = (√10 - 5)/-3 = (5 - √10)/3
korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:
a² - b² = (a + b)(a - b)
odp. D
2)
x + 4 = 0
x = -4
-4 ∈ (-ω, -2>
to jest miejsce zerowe
3x + 9 = 0
x + 3 = 0
x = -3
-3 ∉ (-2, 1)
to nie jest miejsce zerowe
x - 7 = 0
x = 7
7 ∈ (1, ω)
to jest miejsce zerowe
dana funkcja ma 2 miejsca zerowe odp. C
3)
y = ax + b - ogólne równanie prostej
P = (0, 3) należy do wykresu funkcji
(5, 0) jest miejscem zerowym funkcji
postawiamy współrzędne danych punktów do równania
3 = 0a + b
0 = 5a + b
3 = b
0 = 5a + 3
a = -3/5
y = -3/5 + 3
odp. B
4)
log₂9 + log₂6 = log₂(9*6) = log₂54 = log₂(2*27) = log₂2 + log₂27 = 1 + log₂27
korzystamy dwukrotnie ze wzoru na sumę logarytmów o tej samej postawie
odp. C
5)
a_n = (n + 1)(n² - 16)(n + 6) = (n + 1)(n - 4)(n + 4)(n + 6)
wyrażenie to przyjmuje wartość 0 dla n ∈ {-6, -4, -1, 4}, ale ponieważ wyrazy ciągu są zawsze indeksowane przez liczby całkowite dodatnie, wartość wyrażenie będzie równa 0 tylko dla:
n = 4
odp. B
6)
to jest trójkąt 30, 60, 90 (połowa trójkąta równobocznego)
12√3
odp.A
7)
5x - 9y + 1 = 0
y = 5/9 y + 1/9 postać kierunkowa prostej
5/9
odp. C
8)
d - przekątna postawy
a - krawędź sześcianu
D- przekątna sześcianu
d = a√2
d² + a² = D²
D² = 2a + a
D = a√3
cosα = a/D = a/a√3 = √3/3
odp. B
9)
f = (2x² - 12)/(x² + 4)
x² + 4 ≠ 0
równość jest spełniona zawsze, bo Δ < 0
D = R
odp. C
10)
f(x) = -2x² - 8x + 6
a < 0 (funkcja ma maksimum nie ma minimum, ramiona paraboli są skierowane do dołu)
y_max = -Δ/4a = -(64 + 6*2*4)/-8 = (64 + 48)/8 = 14
Z_w = (-ω, 14>
odp. C
11)
(2√3 - √2)² = 4*3 - 4*√2*√3 + 2 = 14 - 4√6
korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
(a - b)² = a² - 2ab + b²
odp. D
12)
y = f(x) + 5
odp. B
13)
2, 3 - są dwie liczby pierwsze w zbiorze {1, 2, 3, 4, 5, 6}
P = 2/6 = 1/3
odp. A
14)
x - szukana liczba
x * 2,4 % = 2,304
x * 0,024 = 2,304
24x = 2304
x = 96
odp. B
15)
W(x) = x³ - 3x² - 4x + 12 = x²(x - 3) - 4(x - 3) = (x - 3)(x² - 4) = (x - 3)(x - 2)(x + 2)
odp. A
16)
korzystamy ze wzoru:
sin²α + cos²α = 1
sin²α = 1 - cos²α
sin²α = 1 - 9/121
sin²α = 112/121
sinα = √(112)/11 ∨ sinα = -√(112)/11
ale w pierwszej ćwiartce (czyli dla kątów ostrych) sinus jest dodatni
sinα = √(112)/11 = 4√7/11
odp. C
17)
nie mogę odczytać potęg, są za małe napisz na pw to uzupełnię
18)
a_n = 5*3^n
a_n = a₁ *q^(n - 1) - wzór ogólny na n-ty wyraz ciągo geometrycznego
q = 3
odp. A
