z.1
V = x*y*z = 30 cm^3
V1 = (4x)*((y/2)*(z/3) = (4/6)*x*y*z = (2/3)*x*y*z = (2/3)*30 cm^3 = 20 cm^3
V - V1 = 30 cm^3 - 20 cm^3 = 10 cm^3
Odp.Objętość zmniejszy się o 10 cm^3.
=====================================
z.2
a,b,c - wymiary prostopadłościanu
Mamy
a*b = 8,64 m^2 --> a = 8,64 / b
a*c = 12,96 m^2
b*c = 15,36 m^2
------------------
[ 8,64 /b]*c = 12,96 / * b
b*c = 15,36
-----------------------
8,64*c = 12,96*b
b*c = 15,36 ----> b = 15,36/c
----------------------
8,64*c = 12,96*[15,36/c] / * c
8,64* c^2 = 199,0656
c^2 = 199,0656 : 8,64
c^2 = 23,04
c = 4,8
=======
b = 15,36 : 4,8 = 3,2
====================
a = 8,64 : 3,2 = 2,7
===================
zatem
a = 2,7 m, b = 3,2 m, c = 4,8 m
oraz objętość prostopadłościanu
V = a*b*c = 2,7 m *3,2 m* 4,8 m = 41,472 m^3
==============================================
z.3
h1 - wysokość ściany bocznej
h - wysokość ostrośłupa
alfa = 30 st
Mamy trójkąt równoboczny, zatem
h = h1*p(3)/2 = 8 p(3)*p(3)/2 = 12
h = 12
====
Z tw. Pitagorasa mamy
x^2 = (h1)^2 - h^2 = [ 8 p(3)]^2 - 12^2 = 64*3 - 144 = 192 - 144 = 48 =3*16
x = 4 p(3)
==============
gdzie h2 = 3*x
h2 = 3*4 p(3) = 12 p(3) - wysokość trójkąta równobocznego - podstawy
ostrosłupa prawidłowego
a - długość boku trójkąta - podstawy ostrosłupa
Mamy
h2 = a p(3)/2
2 h2 = a p(3)
Po podstawieniu
2 *12 p(3) = a * p(3)
czyli
a = 24
=======
Pole podstawy Pp
Pp = a^2 p(3)/4 = 24^2 * p(3)/4 = 576 p(3) / 4 = 144 p(3)
Objętość ostrosłupa
V = (1/3) Pp *h
V = (1/3) *144 p(3)*12 = 576 p(3) j^3
=====================================
p(3) - pierwiastek kwadratowy z 3
zad1. objętość prostopadłościanu jest równa 30 cm sześciennych . o ile zmieni się ta objętość jeżeli długość prostopadłościanu zwiększymy czterokrotnie , szerokość zmniejszymy dwukrotnie a wysokość zmniejszymy trzykrotnie ????w odp pisze że powinno wyjść zmniejszy się o 10 cm sześciennych
x- długosc
y- szerokosc
z- wysokosc
V=x*y*z=30cm³
po zmianie:
V= 4x*½y*⅓z=⅔x*y*z=20cm²
i faktycznie zmniejszy się o 10cm³
zad2. pola powierzchni trzech ścian prostopadłościanu są równe 8,64 m kwadratowego , 12,96 m kwadratowego , 15,36 m kwadratowego. Oblicz objętość tego prostopadłościanu .w odp pisze że powinno wyjść 41, 472 m sześciennych
x- długosc
y- szerokosc
z- wysokosc
xy=8,64m²
yz=12,96m²
zx=15,36m²
x=8,64-y
yz=12,96
zx=15,36
z(8,64:y)=15,36
y=12,96:z
z[8,64:(12,96:z)]=15,36
y=12,96:z
z*⅔z=15,36
y=12,96:z
z²=23,04
y=12,96:z
z=4,8
y=12,96:4,8
y=2,7m
z=4,8m
x=8,64:y
x=8,64:2,7
x=3,2m
V=xyz=3,2*2,7*4,8=41, 472m³
to też się zgadza.
zad3. w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej o długości 8 pierwiastków z 3 tworzy z wysokością ostrosłupa kąt 30 stopni . Oblicz objętość tego ostrosłupa. w odp pisze ze powinno wyjść 576 pierwiastków z 3 .
H-wysokosc ostroslypa
h₁-wysokosc sciany bocznej = 8√3
h₂-wysokosc podstawy
z własnosci trojkatow 30, 60, 90 wiemy, ze ⅓h₂=4√3,
i ze H=12
V=⅓*Pp*H
V=⅓*0,5*24*12√3*12=⅓*1728√3=576√3
to też się zgadza ;)