Romanistyczka
Rozwiązane

w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokosc podstawy ma 6 cm , a kąt między ścianą boczną i podstawą wynosi α=60 stopni . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tej bryły .
z góry dziękuje . No wiec mam tu rozwiaznie lecz nie bardzo go rozumiem
wiem moge je pzrepisać ale chce zrozumieć to zadanie wiec jakby ktoś byłby tak miły i wytłumaczyć co pokolei to 25 punktów jest twoje ;D
rozwiązanie :

h=a√3:2=6→a podstawy=4√3 ⅓h=2 z zalezności kąta 30⁰h ściany bocznej=4 z pitagorasa obliczH bryły H=pierw. z 4²-2²→H=2√3 v=⅓a²√3:4×H=⅓[4√3]²√3×H=24cm³ p=pole podstawy + pole boczne=a²√3:4+3×4√3×4=[4√3]²√3:4+48√3=60√3cm ² odp.pole wynosi 60√3,natomiast objetosc 24



Odpowiedź :

Mamy ostrosłup o podstawie trójkąta równobocznego.

h= 6cm
Pp = ½×a×h
Wyprowadzamy wartość boku trójkąta w podstawie.
h= a√3:2
6= a√3:2 |×2
12=a√3 |÷√3
a= 12/√3 = 12√3/3 = 4√3 cm
Obliczmy pole podstawy.
Pp= ½×4√3×6
pp= 12√3 cm²

Wiedząc, że kąt między ścianą boczną i podstawą wynosi α=60 stopni wiemy, że wysokość trójkąta z pola bocznego jest ścianą trójkąta równobocznego, którego wysokością jest wysokość ostrosłupa, a 1/2 podstawy to 1/3 wysokości trójkąta równobocznego z podstawy. Czyli możemy wyliczyć tą 1/2 podstawy:
1/3h= 1/3 ×6 = 2 cm
Teraz wiemy, że wysokość trójkąta z pola bocznego ma 4cm.
Możemy obliczyć wysokość ostrosłupa z tw. pitagorasa.
4²=2²+H²
16=4+H²
H² = 12
H =2√3 cm

Objętość ostrosłupa
1/3Pp×H
1/3 × 12√3 cm² × 2√3 cm = 4√3 cm × 2√3 cm = 24 cm³

Pole powierzchni całkowitej = pp + pole boczne
pb= 3 × 1/2 × 4√3 × 4 = 24√3 cm²

pc = 12√3 cm² + 24√3 cm² = 36√3 cm²
Więc warto zacząć od obliczenia kilku rzeczy w trójkącie który jest podstawą. Jeśli jest to ostrosłup prawidłowy trójkątny to podstawą musi być trójkąt równoboczny. Do trójkąta takowego mamy oczywiście wzory.

h=(a√3)/2 oraz na pole (a²√3)/4

Ponieważ wiemy że h=6 robimy z tego równanie

6=(a√3)/2
12=a√3
12/√3=a
(12√3)/3=a
4√3=a

Tak oto mamy bok trójkąta. Będzie to potem potrzebne ale teraz znów potrzebujemy wysokość. Tu mam kłopot bo nie wiem czy mieliście już trygonometrie. Na wszelki wypadek założę że nie i zrobię to znacznie prościej. Ponieważ kąt α=60 będzie on tworzył wraz z krawędzią boczną i wysokością tego ostrosłupa trójkąt 30,60,90. Ma on takie właściwości że jeżeli przyprostokątna przy kącie 60 ma długość a ( "a" u nas równa się 4√3 ) to druga przyprostokątna ma a√3 a przeciwprostokątna ma 2a czyli:

Druga przyprostokątna ( inaczej krawędź boczna tego ostrosłupa ) ma :

2*4√3=8√3

Przeciwprostokątna ( inaczej wysokość tego ostrosłupa ) ma :

4√3*√3=4*3=12

Teraz obliczamy pole trójkąta w podstawie:
(a²√3)/4
(4√3)²/4=
16*3/4=
48/4=12

Objętość ostrosłupa =⅓*Pole podstawy*wysokość
P=⅓*12*12=48

Potrzebna mi jeszcze wysokość trójkątów bocznych.
Z pitagorasa

(8√3)²=(2√3)²+x²
64*3=4*3+x²
192-12=x²
180=x²
6√5=x

Popełniłem za dużo błędów z braku czasu. Nie da się niestety usunąć odpowiedzi więc się nią nie sugeruj.

Inne Pytanie